Номер 28, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

28. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на $0,75$. Найдите его площадь.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра $a$ является единичной.

Секущая плоскость проходит через:

- точку $M$ - середину ребра $AA_1$,

- точку $N$ - середину ребра $CC_1$,

- точку $K$ на ребре $AB$, такую что расстояние от вершины $A$ до точки $K$ равно 0,75.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1 \text{ м}$.

Расстояние $AK = 0.75 \text{ м}$.

Найти:

1. Построить (изобразить) сечение куба.

2. Найти площадь этого сечения $S$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины единичного куба имеют следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(0, 1, 0)$

$A_1(0, 0, 1)$, $B_1(1, 0, 1)$, $C_1(1, 1, 1)$, $D_1(0, 1, 1)$

Найдем координаты трех точек, через которые проходит секущая плоскость:

- Точка $M$ - середина ребра $AA_1$. Ее координаты: $M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 0, 0.5)$.

- Точка $N$ - середина ребра $CC_1$. Ее координаты: $N\left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1, 1, 0.5)$.

- Точка $K$ лежит на ребре $AB$ на расстоянии 0,75 от $A$. Ее координаты: $K(0.75, 0, 0)$.

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1, CC_1$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на 0,75.

Построение сечения будем выполнять методом следов, находя точки пересечения секущей плоскости с ребрами куба.

1. Составим уравнение секущей плоскости вида $ax + by + cz = d$. Подставим координаты точек $M, N, K$:

Для $K(0.75, 0, 0): a \cdot 0.75 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = d \implies 0.75a = d \implies a = \frac{4}{3}d$.

Для $M(0, 0, 0.5): a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0.5 = d \implies 0.5c = d \implies c = 2d$.

Для $N(1, 1, 0.5): a \cdot 1 + b \cdot 1 + c \cdot 0.5 = d \implies a + b + 0.5c = d$.

Подставим $a$ и $c$ в третье уравнение: $\frac{4}{3}d + b + 0.5(2d) = d \implies \frac{4}{3}d + b + d = d \implies b = -\frac{4}{3}d$.

Уравнение плоскости: $\frac{4}{3}dx - \frac{4}{3}dy + 2dz = d$. Разделив на $d$ (при $d \neq 0$) и умножив на 3, получим: $4x - 4y + 6z = 3$.

2. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба ($0 \le x, y, z \le 1$).

- На грани $ABCD$ ($z=0$): $4x-4y=3$. Линия проходит через $K(0.75, 0, 0)$. Пересечение с ребром $BC$ ($x=1, z=0$): $4(1)-4y=3 \implies 4y=1 \implies y=0.25$. Получаем точку $L(1, 0.25, 0)$.

- На грани $BCC_1B_1$ ($x=1$): $4(1)-4y+6z=3 \implies -4y+6z=-1$. Линия проходит через $L(1, 0.25, 0)$ и $N(1, 1, 0.5)$.

- На грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $4x-4y+6(1)=3 \implies 4x-4y=-3$.Пересечение с ребром $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $4x-4(1)=-3 \implies 4x=1 \implies x=0.25$. Получаем точку $P(0.25, 1, 1)$.Пересечение с ребром $A_1D_1$ ($x=0, z=1$): $4(0)-4y=-3 \implies 4y=3 \implies y=0.75$. Получаем точку $Q(0, 0.75, 1)$.

- На грани $ADD_1A_1$ ($x=0$): $-4y+6z=3$. Линия проходит через $M(0, 0, 0.5)$ и $Q(0, 0.75, 1)$.

- На грани $ABB_1A_1$ ($y=0$): $4x+6z=3$. Линия проходит через $K(0.75, 0, 0)$ и $M(0, 0, 0.5)$.

- На грани $CDD_1C_1$ ($y=1$): $4x+6z=7$. Линия проходит через $N(1, 1, 0.5)$ и $P(0.25, 1, 1)$.

Таким образом, сечение представляет собой шестиугольник $KLNPQM$.

Ответ: Сечение является шестиугольником $KLNPQM$, вершины которого лежат на ребрах куба: $K$ на $AB$, $L$ на $BC$, $N$ на $CC_1$, $P$ на $C_1D_1$, $Q$ на $A_1D_1$ и $M$ на $AA_1$.

Найдите его площадь.

Площадь сечения $S$ можно найти, используя метод проекции. Площадь проекции многоугольника на плоскость связана с площадью самого многоугольника формулой $S_{пр} = S \cdot |\cos \alpha|$, где $\alpha$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

1. Спроектируем шестиугольник $KLNPQM$ на плоскость основания $Oxy$ ($z=0$). Координаты вершин проекции:

$K'(0.75, 0)$, $L'(1, 0.25)$, $N'(1, 1)$, $P'(0.25, 1)$, $Q'(0, 0.75)$, $M'(0, 0)$.

2. Найдем площадь проекции $S_{xy}$. Площадь шестиугольника $M'K'L'N'P'Q'$ можно вычислить как площадь единичного квадрата $ABCD$ за вычетом площадей двух прямоугольных треугольников в углах $B$ и $D$.

- Треугольник с вершинами $B(1,0)$, $K'(0.75, 0)$ и $L'(1, 0.25)$. Его катеты равны $1 - 0.75 = 0.25$ и $0.25$. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 0.25 \cdot 0.25 = \frac{1}{32}$.

- Треугольник с вершинами $D(0,1)$, $P'(0.25, 1)$ и $Q'(0, 0.75)$. Его катеты равны $0.25$ и $1 - 0.75 = 0.25$. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 0.25 \cdot 0.25 = \frac{1}{32}$.

Площадь проекции: $S_{xy} = S_{ABCD} - S_1 - S_2 = 1^2 - \frac{1}{32} - \frac{1}{32} = 1 - \frac{2}{32} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

3. Найдем косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью проекции. Угол $\alpha$ равен углу между их нормальными векторами.

Нормальный вектор к плоскости сечения $4x - 4y + 6z = 3$ есть $\vec{n} = (4, -4, 6)$.

Нормальный вектор к плоскости проекции $z=0$ есть $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

$\cos \alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|4 \cdot 0 + (-4) \cdot 0 + 6 \cdot 1|}{\sqrt{4^2 + (-4)^2 + 6^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} = \frac{6}{\sqrt{16+16+36} \cdot 1} = \frac{6}{\sqrt{68}} = \frac{6}{2\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

4. Вычислим площадь сечения $S$:

$S = \frac{S_{xy}}{|\cos \alpha|} = \frac{15/16}{3/\sqrt{17}} = \frac{15}{16} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{5\sqrt{17}}{16}$.

Ответ: $S = \frac{5\sqrt{17}}{16} \text{ м}^2$.