Вопросы?, страница 10 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Как называют три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчёта?

2. Как называют точку, в которой пересекаются три координатные прямые?

3. Как называют координатную прямую, обозначенную буквой $x$? буквой $y$? буквой $z$?

4. Как называют плоскость, проходящую через пару координатных прямых?

5. Как называют пространство, в котором задана система координат?

6. Опишите, каким образом каждой точке $M$ координатного пространства ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел $(x; y; z)$.

7. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты?

8. Как найти координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, если известны координаты его концов?

1. Как называют три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчёта?

Такую совокупность из трёх попарно перпендикулярных координатных прямых с общим началом отсчёта называют прямоугольной (или декартовой) системой координат в пространстве. Эти прямые называют осями координат.

Ответ: Прямоугольная система координат.

2. Как называют точку, в которой пересекаются три координатные прямые?

Точку, в которой пересекаются три координатные прямые, называют началом координат. Обычно её обозначают буквой $O$, и её координаты равны $(0; 0; 0)$.

Ответ: Начало координат.

3. Как называют координатную прямую, обозначенную буквой x? буквой y? буквой z?

Координатные прямые, обозначенные буквами $x$, $y$ и $z$, имеют специальные названия:

• Прямая, обозначенная буквой $x$, называется осью абсцисс.
• Прямая, обозначенная буквой $y$, называется осью ординат.
• Прямая, обозначенная буквой $z$, называется осью аппликат.

Ответ: Ось, обозначенная буквой $x$, – ось абсцисс; ось, обозначенная буквой $y$, – ось ординат; ось, обозначенная буквой $z$, – ось аппликат.

4. Как называют плоскость, проходящую через пару координатных прямых?

Плоскость, проходящая через пару координатных прямых, называется координатной плоскостью. Существует три координатные плоскости:

• Плоскость $Oxy$, проходящая через оси $Ox$ и $Oy$.
• Плоскость $Oxz$, проходящая через оси $Ox$ и $Oz$.
• Плоскость $Oyz$, проходящая через оси $Oy$ и $Oz$.

Ответ: Координатная плоскость.

5. Как называют пространство, в котором задана система координат?

Пространство, в котором задана система координат, называют координатным пространством. Каждая точка в таком пространстве однозначно определяется набором чисел — своими координатами.

Ответ: Координатное пространство.

6. Опишите, каким образом каждой точке M координатного пространства ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел (x; y; z).

Чтобы поставить в соответствие каждой точке $M$ координатного пространства упорядоченную тройку чисел $(x; y; z)$, необходимо найти её проекции на координатные оси. Для этого через точку $M$ проводят три плоскости, перпендикулярные осям координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

• Плоскость, перпендикулярная оси $Ox$, пересечёт её в точке $M_x$. Координата этой точки на оси $Ox$ и есть абсцисса $x$ точки $M$.
• Плоскость, перпендикулярная оси $Oy$, пересечёт её в точке $M_y$. Координата этой точки на оси $Oy$ и есть ордината $y$ точки $M$.
• Плоскость, перпендикулярная оси $Oz$, пересечёт её в точке $M_z$. Координата этой точки на оси $Oz$ и есть аппликата $z$ точки $M$.

Таким образом, точка $M$ получает свои уникальные координаты $(x; y; z)$, которые представляют собой упорядоченную тройку чисел.

Ответ: Координаты точки $M$ — это упорядоченная тройка чисел, которые являются координатами проекций этой точки на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно.

7. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты?

Расстояние $d$ между двумя точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов разностей их соответствующих координат. Формула для нахождения расстояния имеет вид:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Эта формула является обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного пространства.

Ответ: По формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$, где $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ – координаты точек.

8. Как найти координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, если известны координаты его концов?

Пусть даны две точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$, которые являются концами отрезка. Пусть точка $C(x; y; z)$ делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda$, то есть $\frac{AC}{CB} = \lambda$. Тогда координаты точки $C$ можно найти по следующим формулам:

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$

$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

$z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda}$

В частном случае, если точка $C$ является серединой отрезка $AB$, то $\lambda = 1$, и формулы для координат середины отрезка принимают вид:

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2}, \quad z = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Ответ: Координаты $(x; y; z)$ точки, делящей отрезок с концами $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ в отношении $\lambda$, находятся по формулам: $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$, $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$, $z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda}$.