Страница 10 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Как называют три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчёта?

2. Как называют точку, в которой пересекаются три координатные прямые?

3. Как называют координатную прямую, обозначенную буквой $x$? буквой $y$? буквой $z$?

4. Как называют плоскость, проходящую через пару координатных прямых?

5. Как называют пространство, в котором задана система координат?

6. Опишите, каким образом каждой точке $M$ координатного пространства ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел $(x; y; z)$.

7. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты?

8. Как найти координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, если известны координаты его концов?

1. Как называют три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим началом отсчёта?

Такую совокупность из трёх попарно перпендикулярных координатных прямых с общим началом отсчёта называют прямоугольной (или декартовой) системой координат в пространстве. Эти прямые называют осями координат.

Ответ: Прямоугольная система координат.

2. Как называют точку, в которой пересекаются три координатные прямые?

Точку, в которой пересекаются три координатные прямые, называют началом координат. Обычно её обозначают буквой $O$, и её координаты равны $(0; 0; 0)$.

Ответ: Начало координат.

3. Как называют координатную прямую, обозначенную буквой x? буквой y? буквой z?

Координатные прямые, обозначенные буквами $x$, $y$ и $z$, имеют специальные названия:

• Прямая, обозначенная буквой $x$, называется осью абсцисс.
• Прямая, обозначенная буквой $y$, называется осью ординат.
• Прямая, обозначенная буквой $z$, называется осью аппликат.

Ответ: Ось, обозначенная буквой $x$, – ось абсцисс; ось, обозначенная буквой $y$, – ось ординат; ось, обозначенная буквой $z$, – ось аппликат.

4. Как называют плоскость, проходящую через пару координатных прямых?

Плоскость, проходящая через пару координатных прямых, называется координатной плоскостью. Существует три координатные плоскости:

• Плоскость $Oxy$, проходящая через оси $Ox$ и $Oy$.
• Плоскость $Oxz$, проходящая через оси $Ox$ и $Oz$.
• Плоскость $Oyz$, проходящая через оси $Oy$ и $Oz$.

Ответ: Координатная плоскость.

5. Как называют пространство, в котором задана система координат?

Пространство, в котором задана система координат, называют координатным пространством. Каждая точка в таком пространстве однозначно определяется набором чисел — своими координатами.

Ответ: Координатное пространство.

6. Опишите, каким образом каждой точке M координатного пространства ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел (x; y; z).

Чтобы поставить в соответствие каждой точке $M$ координатного пространства упорядоченную тройку чисел $(x; y; z)$, необходимо найти её проекции на координатные оси. Для этого через точку $M$ проводят три плоскости, перпендикулярные осям координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

• Плоскость, перпендикулярная оси $Ox$, пересечёт её в точке $M_x$. Координата этой точки на оси $Ox$ и есть абсцисса $x$ точки $M$.
• Плоскость, перпендикулярная оси $Oy$, пересечёт её в точке $M_y$. Координата этой точки на оси $Oy$ и есть ордината $y$ точки $M$.
• Плоскость, перпендикулярная оси $Oz$, пересечёт её в точке $M_z$. Координата этой точки на оси $Oz$ и есть аппликата $z$ точки $M$.

Таким образом, точка $M$ получает свои уникальные координаты $(x; y; z)$, которые представляют собой упорядоченную тройку чисел.

Ответ: Координаты точки $M$ — это упорядоченная тройка чисел, которые являются координатами проекций этой точки на оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно.

7. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты?

Расстояние $d$ между двумя точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ в пространстве вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов разностей их соответствующих координат. Формула для нахождения расстояния имеет вид:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Эта формула является обобщением теоремы Пифагора для трёхмерного пространства.

Ответ: По формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$, где $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ – координаты точек.

8. Как найти координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, если известны координаты его концов?

Пусть даны две точки $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$, которые являются концами отрезка. Пусть точка $C(x; y; z)$ делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda$, то есть $\frac{AC}{CB} = \lambda$. Тогда координаты точки $C$ можно найти по следующим формулам:

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$

$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

$z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda}$

В частном случае, если точка $C$ является серединой отрезка $AB$, то $\lambda = 1$, и формулы для координат середины отрезка принимают вид:

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2}, \quad z = \frac{z_1 + z_2}{2}$

Ответ: Координаты $(x; y; z)$ точки, делящей отрезок с концами $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$ в отношении $\lambda$, находятся по формулам: $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$, $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$, $z = \frac{z_1 + \lambda z_2}{1 + \lambda}$.

1.1. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси, и в случае утвердительного ответа укажите эту ось:

1) $A(4; -3; 0);$

2) $B(1; 0; -5);$

3) $C(-6; 0; 0);$

4) $D(0; 7; 0);$

5) $E(0; 0; -2);$

6) $F(3; 0; 0).$

Чтобы точка лежала на одной из координатных осей в трехмерном пространстве, две из ее трех координат должны быть равны нулю. Если только одна координата равна нулю, точка лежит в одной из координатных плоскостей. Если ни одна из координат не равна нулю, точка находится в одном из октантов пространства.

1) A (4; -3; 0)
У точки $A$ с координатами $(4; -3; 0)$ только аппликата (координата $z$) равна нулю. Абсцисса $x = 4$ и ордината $y = -3$ не равны нулю. Поскольку только одна координата равна нулю, точка не лежит на координатной оси. Она лежит в координатной плоскости $Oxy$.
Ответ: Точка A не лежит на координатной оси.

2) B (1; 0; -5)
У точки $B$ с координатами $(1; 0; -5)$ только ордината (координата $y$) равна нулю. Абсцисса $x = 1$ и аппликата $z = -5$ не равны нулю. Поскольку только одна координата равна нулю, точка не лежит на координатной оси. Она лежит в координатной плоскости $Oxz$.
Ответ: Точка B не лежит на координатной оси.

3) C (-6; 0; 0)
У точки $C$ с координатами $(-6; 0; 0)$ ордината $y = 0$ и аппликата $z = 0$. Так как две координаты равны нулю, а одна (абсцисса $x = -6$) не равна нулю, точка лежит на координатной оси. Это ось абсцисс, или ось $Ox$.
Ответ: Точка C лежит на оси $Ox$.

4) D (0; 7; 0)
У точки $D$ с координатами $(0; 7; 0)$ абсцисса $x = 0$ и аппликата $z = 0$. Так как две координаты равны нулю, а одна (ордината $y = 7$) не равна нулю, точка лежит на координатной оси. Это ось ординат, или ось $Oy$.
Ответ: Точка D лежит на оси $Oy$.

5) E (0; 0; -2)
У точки $E$ с координатами $(0; 0; -2)$ абсцисса $x = 0$ и ордината $y = 0$. Так как две координаты равны нулю, а одна (аппликата $z = -2$) не равна нулю, точка лежит на координатной оси. Это ось аппликат, или ось $Oz$.
Ответ: Точка E лежит на оси $Oz$.

6) F (3; 0; 0)
У точки $F$ с координатами $(3; 0; 0)$ ордината $y = 0$ и аппликата $z = 0$. Так как две координаты равны нулю, а одна (абсцисса $x = 3$) не равна нулю, точка лежит на координатной оси. Это ось абсцисс, или ось $Ox$.
Ответ: Точка F лежит на оси $Ox$.

1.2. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости, и в случае утвердительного ответа укажите эту плоскость:

1) $A (4; -3; 5);$

2) $B (0; -2; 6);$

3) $C (3; 3; 0);$

4) $D (2; 0; 8);$

5) $E (0; 4; 0);$

6) $F (-1; 1; 2).$

Для того чтобы точка с координатами $(x; y; z)$ принадлежала координатной плоскости, необходимо, чтобы одна или несколько ее координат равнялись нулю. Правила следующие:

• Если координата $z=0$, точка лежит в плоскости $Oxy$.
• Если координата $y=0$, точка лежит в плоскоosti $Oxz$.
• Если координата $x=0$, точка лежит в плоскости $Oyz$.

Рассмотрим каждую точку отдельно:

1) A(4; -3; 5)

У точки $A(4; -3; 5)$ все три координаты ($x=4$, $y=-3$, $z=5$) отличны от нуля. Следовательно, точка не принадлежит ни одной из координатных плоскостей.

Ответ: Нет, точка не принадлежит координатной плоскости.

2) B(0; -2; 6)

У точки $B(0; -2; 6)$ координата $x=0$. Это означает, что точка принадлежит координатной плоскости $Oyz$.

Ответ: Да, принадлежит координатной плоскости $Oyz$.

3) C(3; 3; 0)

У точки $C(3; 3; 0)$ координата $z=0$. Это означает, что точка принадлежит координатной плоскости $Oxy$.

Ответ: Да, принадлежит координатной плоскости $Oxy$.

4) D(2; 0; 8)

У точки $D(2; 0; 8)$ координата $y=0$. Это означает, что точка принадлежит координатной плоскости $Oxz$.

Ответ: Да, принадлежит координатной плоскости $Oxz$.

5) E(0; 4; 0)

У точки $E(0; 4; 0)$ две координаты равны нулю: $x=0$ и $z=0$. Условие $x=0$ означает принадлежность плоскости $Oyz$, а условие $z=0$ — принадлежность плоскости $Oxy$. Точка $E$ лежит на линии пересечения этих плоскостей (оси $Oy$), следовательно, она принадлежит обеим этим плоскостям.

Ответ: Да, принадлежит координатным плоскостям $Oxy$ и $Oyz$.

6) F(-1; 1; 2)

У точки $F(-1; 1; 2)$ все три координаты ($x=-1$, $y=1$, $z=2$) отличны от нуля. Следовательно, точка не принадлежит ни одной из координатных плоскостей.

Ответ: Нет, точка не принадлежит координатной плоскости.

1.3. Какие из точек $A(5; -8; 1)$, $B(5; 8; 1)$, $C(-5; 7; 1)$, $D(5; -7; -1)$ лежат на одной прямой, параллельной оси ординат?

Прямая, параллельная оси ординат (оси $Oy$), состоит из точек, у которых координаты $x$ (абсцисса) и $z$ (аппликата) постоянны, а координата $y$ (ордината) может быть любой.

Следовательно, чтобы несколько точек лежали на одной такой прямой, у них должны быть одинаковые первая и третья координаты.

Рассмотрим координаты данных точек:

• $A (5; -8; 1)$ имеет координаты $x=5$, $z=1$.
• $B (5; 8; 1)$ имеет координаты $x=5$, $z=1$.
• $C (-5; 7; 1)$ имеет координаты $x=-5$, $z=1$.
• $D (5; -7; -1)$ имеет координаты $x=5$, $z=-1$.

Сравнивая координаты $x$ и $z$ для каждой точки, мы видим, что только у точек $A$ и $B$ они совпадают:

$x_A = x_B = 5$
$z_A = z_B = 1$

Координаты $x$ и $z$ у других точек отличаются. Например, у точки $C$ координата $x = -5$, а у точки $D$ координата $z = -1$.

Таким образом, точки $A$ и $B$ лежат на одной прямой $x=5, z=1$, которая параллельна оси ординат.

Ответ: $A$ и $B$.

1.4. Какие из точек $D(2; 3; 4)$, $E(-2; 3; 4)$, $K(2; 3; -4)$, $M(-2; -3; 4)$ лежат на одной прямой, параллельной оси аппликат?

В трехмерной системе координат прямая, параллельная оси аппликат (оси $Oz$), характеризуется тем, что все ее точки имеют одинаковые координаты абсциссы ($x$) и ординаты ($y$). Меняется только координата аппликаты ($z$). Таким образом, мы ищем точки, у которых первые две координаты совпадают.

Проанализируем координаты предложенных точек:

• $D(2; 3; 4)$
• $E(-2; 3; 4)$
• $K(2; 3; -4)$
• $M(-2; -3; 4)$

Сравним пары координат $(x; y)$ для каждой точки:

• Для точки $D$ пара координат $(x; y)$ равна $(2; 3)$.
• Для точки $E$ пара координат $(x; y)$ равна $(-2; 3)$.
• Для точки $K$ пара координат $(x; y)$ равна $(2; 3)$.
• Для точки $M$ пара координат $(x; y)$ равна $(-2; -3)$.

Мы видим, что у точек $D$ и $K$ пары координат $(x; y)$ одинаковы и равны $(2; 3)$. Это означает, что обе эти точки лежат на прямой, определяемой уравнениями $x=2$ и $y=3$. Эта прямая параллельна оси аппликат $Oz$. Координаты $z$ у этих точек различны ($4$ и $-4$), что подтверждает их расположение на одной прямой, а не совпадение.

Ответ: $D$ и $K$.

1.5. Какие из точек $A (-1; 6; 2)$, $B (-1; -6; 2)$, $C (1; 6; -2)$, $D (1; -6; 2)$ лежат в одной плоскости, параллельной плоскости $xz$?

Координатная плоскость $xz$ задается уравнением $y=0$. Любая плоскость, параллельная плоскости $xz$, имеет уравнение вида $y=c$, где $c$ является константой. Это означает, что все точки, которые лежат в одной и той же плоскости, параллельной плоскости $xz$, должны иметь одинаковую координату $y$.

Рассмотрим координаты данных точек $A(-1; 6; 2)$, $B(-1; -6; 2)$, $C(1; 6; -2)$ и $D(1; -6; 2)$:

• У точки $A$ координата $y = 6$.
• У точки $B$ координата $y = -6$.
• У точки $C$ координата $y = 6$.
• У точки $D$ координата $y = -6$.

Сравнивая y-координаты, мы видим, что:

• Точки $A$ и $C$ имеют одинаковую координату $y=6$. Следовательно, они лежат в одной плоскости $y=6$, которая параллельна плоскости $xz$.
• Точки $B$ и $D$ имеют одинаковую координату $y=-6$. Следовательно, они лежат в другой плоскости $y=-6$, которая также параллельна плоскости $xz$.

Ответ: Точки $A$ и $C$ лежат в одной плоскости, а точки $B$ и $D$ — в другой. Обе эти плоскости параллельны плоскости $xz$.

1.6. Какие из точек $M(5; 10; -3)$, $N(5; 9; 3)$, $K(4; -9; 3)$, $P(4; -9; 2)$ лежат в одной плоскости, параллельной плоскости $xy$?

Плоскость, параллельная координатной плоскости $xy$, задается уравнением вида $z = c$, где $c$ является некоторой константой. Это означает, что все точки, лежащие в одной такой плоскости, должны иметь одинаковую координату $z$ (аппликату).

Чтобы определить, какие из данных точек лежат в одной плоскости, параллельной плоскости $xy$, необходимо сравнить их аппликаты (координаты $z$).

Проанализируем аппликаты заданных точек:
- Для точки $M(5; 10; -3)$ аппликата $z = -3$.
- Для точки $N(5; 9; 3)$ аппликата $z = 3$.
- Для точки $K(4; -9; 3)$ аппликата $z = 3$.
- Для точки $P(4; -9; 2)$ аппликата $z = 2$.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что у точек $N$ и $K$ аппликаты совпадают и равны 3. Следовательно, точки $N$ и $K$ лежат в одной плоскости, которая задается уравнением $z=3$ и параллельна плоскости $xy$.

Ответ: Точки $N(5; 9; 3)$ и $K(4; -9; 3)$.

1.7. Укажите расстояние от точки $M (4; -5; 2)$ до координатной плос-кости:

1) $xy$;

2) $xz$;

3) $yz$.

Для точки в трехмерном пространстве с координатами $M(x; y; z)$ расстояние до координатных плоскостей определяется как модуль координаты, перпендикулярной к данной плоскости.

1) xy

Координатная плоскость $xy$ задается уравнением $z=0$. Расстояние от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $xy$ равно модулю ее координаты $z$. Это расстояние является длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Для точки $M(4; -5; 2)$ ее координата $z$ равна 2.
Следовательно, расстояние до плоскости $xy$ равно $|z_0| = |2| = 2$.

Ответ: 2

2) xz

Координатная плоскость $xz$ задается уравнением $y=0$. Расстояние от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $xz$ равно модулю ее координаты $y$.
Для точки $M(4; -5; 2)$ ее координата $y$ равна -5.
Следовательно, расстояние до плоскости $xz$ равно $|y_0| = |-5| = 5$.

Ответ: 5

3) yz

Координатная плоскость $yz$ задается уравнением $x=0$. Расстояние от точки $M(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости $yz$ равно модулю ее координаты $x$.
Для точки $M(4; -5; 2)$ ее координата $x$ равна 4.
Следовательно, расстояние до плоскости $yz$ равно $|x_0| = |4| = 4$.

Ответ: 4