Страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.39. Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 2 см, а боковое ребро равно 4 см. Точки $K$ и $M$ — середины рёбер $BB_1$ и $A_1C_1$ соответственно. Найдите расстояние от точки $M$ до точки пересечения медиан треугольника $AKC$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат находится в точке A, ось Ox направлена вдоль ребра AC, ось Oz — вдоль бокового ребра AA₁, а ось Oy перпендикулярна плоскости (AA₁C).

Поскольку призма правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник ABC со стороной 2, а боковое ребро равно 4 и перпендикулярно основанию. В выбранной системе координат определим координаты вершин призмы:

A(0, 0, 0) — начало координат.
C(2, 0, 0) — так как точка C лежит на оси Ox и $|AC|=2$.
B(1, $\sqrt{3}$, 0) — так как проекция B на ось Ox это середина AC (x=1), а проекция на ось Oy равна высоте треугольника $h = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
A₁(0, 0, 4), B₁(1, $\sqrt{3}$, 4), C₁(2, 0, 4) — координаты верхнего основания получаются сдвигом нижнего на 4 единицы по оси Oz.

Найдем координаты точек K и M.
Точка K является серединой ребра BB₁, поэтому ее координаты — это полусумма координат B и B₁: $K = \left(\frac{1+1}{2}; \frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}; \frac{0+4}{2}\right) = (1, \sqrt{3}, 2)$.
Точка M является серединой ребра A₁C₁, ее координаты — это полусумма координат A₁ и C₁: $M = \left(\frac{0+2}{2}; \frac{0+0}{2}; \frac{4+4}{2}\right) = (1, 0, 4)$.

Пусть G — точка пересечения медиан (центроид) треугольника AKC. Координаты центроида равны среднему арифметическому координат вершин A(0, 0, 0), K(1, $\sqrt{3}$, 2) и C(2, 0, 0):
$G_x = \frac{0+1+2}{3} = 1$
$G_y = \frac{0+\sqrt{3}+0}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$G_z = \frac{0+2+0}{3} = \frac{2}{3}$
Таким образом, точка G имеет координаты $G\left(1, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{2}{3}\right)$.

Искомое расстояние — это длина отрезка MG. Найдем ее по формуле расстояния между точками M и G в пространстве:
$MG = \sqrt{(x_M - x_G)^2 + (y_M - y_G)^2 + (z_M - z_G)^2}$
$MG = \sqrt{(1-1)^2 + \left(0-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \left(4-\frac{2}{3}\right)^2}$
$MG = \sqrt{0 + \frac{3}{9} + \left(\frac{10}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{9} + \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{103}{9}} = \frac{\sqrt{103}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{103}}{3}$.

1.40. Точка $M$ — середина ребра $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребро которого равно 8 см. Найдите расстояние от точки $C$ до центроида тетраэдра $MABD$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D. Направим ось Ox вдоль ребра DA, ось Oy — вдоль ребра DC, а ось Oz — вдоль ребра DD₁.

Так как длина ребра куба равна 8 см, определим координаты необходимых точек:

• $D(0; 0; 0)$
• $A(8; 0; 0)$
• $B(8; 8; 0)$
• $C(0; 8; 0)$
• $B_1(8; 8; 8)$
• $C_1(0; 8; 8)$

Точка M является серединой ребра $B_1C_1$. Ее координаты находятся как полусумма соответствующих координат точек $B_1$ и $C_1$:

$M = \left(\frac{8+0}{2}; \frac{8+8}{2}; \frac{8+8}{2}\right) = (4; 8; 8)$

Далее найдем координаты центроида G тетраэдра MABD. Центроид тетраэдра — это точка пересечения его медиан, и его координаты равны среднему арифметическому координат вершин тетраэдра.

Вершины тетраэдра: $M(4; 8; 8)$, $A(8; 0; 0)$, $B(8; 8; 0)$, $D(0; 0; 0)$.

Координаты центроида G:

$G_x = \frac{4+8+8+0}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$G_y = \frac{8+0+8+0}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$G_z = \frac{8+0+0+0}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Таким образом, точка G имеет координаты $G(5; 4; 2)$.

Теперь найдем расстояние от точки $C(0; 8; 0)$ до центроида $G(5; 4; 2)$, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

$d = \sqrt{(x_G - x_C)^2 + (y_G - y_C)^2 + (z_G - z_C)^2}$

$CG = \sqrt{(5-0)^2 + (4-8)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 16 + 4} = \sqrt{45}$

Упростим полученный результат:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.

1.41. Сторона основания и боковое ребро правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ соответственно равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние от точки $A_1$ до центроида тетраэдра $B_1ABC$.

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Введем трехмерную декартову систему координат.

Пусть вершина $A$ основания $ABC$ совпадает с началом координат, то есть точка $A$ имеет координаты $(0, 0, 0)$. Поскольку в основании лежит правильный треугольник со стороной $a=4$ см, расположим вершину $B$ на оси $Ox$. Тогда ее координаты будут $B(4, 0, 0)$.

Координаты вершины $C$ можно найти, зная, что треугольник $ABC$ равносторонний. Проекция точки $C$ на ось $Ox$ будет равна $a \cdot \cos(60^\circ)$, а на ось $Oy$ — $a \cdot \sin(60^\circ)$.
$x_C = 4 \cdot \cos(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$
$y_C = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
Таким образом, координаты точки $C$ равны $(2, 2\sqrt{3}, 0)$.

Призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, значит, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Длина бокового ребра, она же высота призмы, равна $h=8$ см. Расположим боковое ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$.
Тогда координаты вершин верхнего основания будут:
$A_1(0, 0, 8)$
$B_1(4, 0, 8)$
$C_1(2, 2\sqrt{3}, 8)$

Теперь найдем координаты центроида тетраэдра $B_1ABC$. Центроид тетраэдра — это точка, координаты которой являются средним арифметическим соответствующих координат его четырех вершин. Обозначим центроид буквой $G$.
Вершины тетраэдра: $B_1(4, 0, 8)$, $A(0, 0, 0)$, $B(4, 0, 0)$, $C(2, 2\sqrt{3}, 0)$.
Найдем координаты центроида $G(x_G, y_G, z_G)$:
$x_G = \frac{x_{B_1} + x_A + x_B + x_C}{4} = \frac{4 + 0 + 4 + 2}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$y_G = \frac{y_{B_1} + y_A + y_B + y_C}{4} = \frac{0 + 0 + 0 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$z_G = \frac{z_{B_1} + z_A + z_B + z_C}{4} = \frac{8 + 0 + 0 + 0}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Итак, координаты центроида тетраэдра $G$ равны $(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$.

Нам осталось найти расстояние $d$ от точки $A_1(0, 0, 8)$ до точки $G(\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2)$. Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками в пространстве:
$d = \sqrt{(x_G - x_{A_1})^2 + (y_G - y_{A_1})^2 + (z_G - z_{A_1})^2}$
$d = \sqrt{(\frac{5}{2} - 0)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0)^2 + (2 - 8)^2}$
$d = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-6)^2}$
$d = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{3}{4} + 36}$
$d = \sqrt{\frac{28}{4} + 36}$
$d = \sqrt{7 + 36}$
$d = \sqrt{43}$

Следовательно, искомое расстояние от точки $A_1$ до центроида тетраэдра $B_1ABC$ равно $\sqrt{43}$ см.

Ответ: $\sqrt{43}$ см.

1.42. Дан прямоугольник $ABCD$. Докажите, что для любой точки $X$ пространства выполняется равенство $XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом координат. Введем трехмерную декартову систему координат так, чтобы вершина $A$ прямоугольника $ABCD$ совпадала с началом координат, а стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны, что делает такой выбор системы координат возможным. Весь прямоугольник будет лежать в плоскости $z=0$.

Пусть длина стороны $AB$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$. Тогда координаты вершин прямоугольника будут следующими:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(a, 0, 0)$
• $D(0, b, 0)$
• $C(a, b, 0)$

Пусть $X$ — произвольная точка пространства с координатами $(x, y, z)$.

Квадрат расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ равен $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$. Используя эту формулу, найдем квадраты расстояний от точки $X$ до каждой из вершин прямоугольника:

• $XA^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = x^2 + y^2 + z^2$
• $XB^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = (x-a)^2 + y^2 + z^2$
• $XC^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-0)^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 + z^2$
• $XD^2 = (x-0)^2 + (y-b)^2 + (z-0)^2 = x^2 + (y-b)^2 + z^2$

Теперь подставим эти выражения в доказываемое равенство $XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2$.

Рассмотрим левую часть равенства:

$XA^2 + XC^2 = (x^2 + y^2 + z^2) + ((x-a)^2 + (y-b)^2 + z^2)$

Раскрыв скобки, получим:

$XA^2 + XC^2 = x^2 + y^2 + z^2 + x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 + z^2$

$XA^2 + XC^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Рассмотрим правую часть равенства:

$XB^2 + XD^2 = ((x-a)^2 + y^2 + z^2) + (x^2 + (y-b)^2 + z^2)$

Раскрыв скобки, получим:

$XB^2 + XD^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2 + x^2 + y^2 - 2by + b^2 + z^2$

$XB^2 + XD^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они тождественно равны. Следовательно, равенство $XA^2 + XC^2 = XB^2 + XD^2$ выполняется для любой точки $X$ в пространстве, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1.43. Точки $M, N$ и $K$ принадлежат соответственно рёбрам $AA_1, B_1C_1$ и $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1. Какое наименьшее значение может принимать сумма $MN^2 + NK^2 + KM^2$?

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $D$ куба совпадает с началом координат, а ребра $DA$, $DC$ и $DD_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Поскольку ребро куба равно 1, координаты вершин куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ будут следующими: $D(0,0,0)$, $A(1,0,0)$, $C(0,1,0)$, $B(1,1,0)$, $D_1(0,0,1)$, $A_1(1,0,1)$, $C_1(0,1,1)$, $B_1(1,1,1)$.

Определим координаты точек $M, N, K$ через параметры.

• Точка $M$ принадлежит ребру $AA_1$. Координаты любой точки на этом ребре можно записать как $M(1, 0, m)$, где $m$ — это расстояние от точки $A$ до точки $M$. Условие $M \in AA_1$ означает, что $0 \le m \le 1$.
• Точка $N$ принадлежит ребру $B_1C_1$. Координаты любой точки на этом ребре можно записать как $N(n, 1, 1)$, где $n$ — это x-координата точки $N$. Условие $N \in B_1C_1$ означает, что $0 \le n \le 1$.
• Точка $K$ принадлежит ребру $CD$. Координаты любой точки на этом ребре можно записать как $K(0, k, 0)$, где $k$ — это расстояние от точки $D$ до точки $K$. Условие $K \in CD$ означает, что $0 \le k \le 1$.

Теперь найдем квадраты расстояний между этими точками (квадраты длин сторон треугольника $MNK$), используя формулу квадрата расстояния между двумя точками в пространстве $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$.

$MN^2 = (1-n)^2 + (0-1)^2 + (m-1)^2 = (1-n)^2 + 1 + (m-1)^2$

$NK^2 = (n-0)^2 + (1-k)^2 + (1-0)^2 = n^2 + (1-k)^2 + 1$

$KM^2 = (0-1)^2 + (k-0)^2 + (0-m)^2 = 1 + k^2 + m^2$

Сложим эти выражения, чтобы найти искомую сумму $S = MN^2 + NK^2 + KM^2$:

$S = \left((1-n)^2 + 1 + (m-1)^2\right) + \left(n^2 + (1-k)^2 + 1\right) + \left(1 + k^2 + m^2\right)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$S = (1 - 2n + n^2) + 1 + (m^2 - 2m + 1) + n^2 + (1 - 2k + k^2) + 1 + 1 + k^2 + m^2$

$S = (n^2 + n^2 - 2n) + (m^2 + m^2 - 2m) + (k^2 + k^2 - 2k) + (1+1+1+1+1+1)$

$S = 2n^2 - 2n + 2m^2 - 2m + 2k^2 - 2k + 6$

Нам нужно найти наименьшее значение этой суммы при условиях $m \in [0, 1]$, $n \in [0, 1]$ и $k \in [0, 1]$. Выражение для $S$ можно представить как сумму трех независимых функций от $m$, $n$ и $k$ плюс константа:

$S(m,n,k) = (2m^2 - 2m) + (2n^2 - 2n) + (2k^2 - 2k) + 6$

Рассмотрим функцию $f(x) = 2x^2 - 2x$ на отрезке $[0, 1]$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение на отрезке достигается в вершине, если вершина принадлежит этому отрезку. Абсцисса вершины параболы $ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$.

Для функции $f(x) = 2x^2 - 2x$ вершина находится в точке $x_0 = -(-2) / (2 \cdot 2) = 2/4 = 1/2$.

Поскольку $1/2 \in [0, 1]$, наименьшее значение функции $f(x)$ на этом отрезке достигается именно в этой точке.

Минимальное значение $f(x)$ на отрезке $[0, 1]$ равно:

$f(1/2) = 2(1/2)^2 - 2(1/2) = 2(1/4) - 1 = 1/2 - 1 = -1/2$.

Чтобы минимизировать сумму $S$, мы должны минимизировать каждое из трех слагаемых $(2m^2 - 2m)$, $(2n^2 - 2n)$ и $(2k^2 - 2k)$ независимо. Это произойдет, когда каждая из переменных будет равна $1/2$.

Наименьшее значение суммы $S$ равно:

$S_{min} = f(1/2) + f(1/2) + f(1/2) + 6 = (-1/2) + (-1/2) + (-1/2) + 6 = -3/2 + 12/2 = 9/2 = 4,5$

Таким образом, наименьшее значение суммы $MN^2 + NK^2 + KM^2$ достигается, когда точки $M, N, K$ являются серединами соответствующих ребер.

Ответ: 4,5

1.44. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно 2 см, 4 см и 6 см. Плоскость, перпендикулярная диагонали $BD_1$ и проходящая через её середину, пересекает прямую $A_1B_1$ в точке $M$. Найдите отрезок $A_1M$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$, направив оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно.

Согласно условию, длины ребер равны $AB = 2$ см, $AD = 4$ см, $AA_1 = 6$ см. В выбранной системе координат вершины, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(2, 0, 0)$
• $D(0, 4, 0)$
• $A_1(0, 0, 6)$
• $B_1(2, 0, 6)$
• $D_1(0, 4, 6)$

По условию, секущая плоскость перпендикулярна диагонали $BD_1$. Это означает, что вектор $\vec{BD_1}$ является вектором нормали к этой плоскости. Найдем его координаты:

$\vec{BD_1} = (0 - 2, 4 - 0, 6 - 0) = (-2, 4, 6)$.

Уравнение плоскости в общем виде: $ax + by + cz + d = 0$. В качестве вектора нормали $(a,b,c)$ можно взять $\vec{BD_1}$ или любой коллинеарный ему, например, $\vec{n} = (-1, 2, 3)$, полученный делением координат на 2. Тогда уравнение плоскости: $-x + 2y + 3z + d = 0$.

Также известно, что плоскость проходит через середину диагонали $BD_1$. Обозначим эту точку как $K$ и найдем ее координаты:

$K = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 6}{2} \right) = (1, 2, 3)$.

Так как точка $K$ принадлежит плоскости, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Подставим их, чтобы найти $d$:

$-(1) + 2(2) + 3(3) + d = 0 \Rightarrow -1 + 4 + 9 + d = 0 \Rightarrow 12 + d = 0 \Rightarrow d = -12$.

Таким образом, уравнение секущей плоскости имеет вид: $-x + 2y + 3z - 12 = 0$.

Эта плоскость пересекает прямую $A_1B_1$ в точке $M$. Зададим прямую $A_1B_1$ параметрически. Прямая проходит через точку $A_1(0, 0, 6)$ с направляющим вектором $\vec{A_1B_1} = (2-0, 0-0, 6-6) = (2, 0, 0)$. Параметрические уравнения прямой:

$\begin{cases} x = 2t \\ y = 0 \\ z = 6 \end{cases}$

Для нахождения координат точки пересечения $M$ подставим параметрические выражения для $x, y, z$ в уравнение плоскости:

$-(2t) + 2(0) + 3(6) - 12 = 0$

$-2t + 18 - 12 = 0$

$-2t + 6 = 0 \Rightarrow t = 3$.

Найдем координаты точки $M$, подставив $t=3$ в параметрические уравнения:

$M(2 \cdot 3, 0, 6) \Rightarrow M(6, 0, 6)$.

Осталось найти длину отрезка $A_1M$. Имея координаты точек $A_1(0, 0, 6)$ и $M(6, 0, 6)$, используем формулу расстояния между двумя точками:

$A_1M = \sqrt{(x_M - x_{A_1})^2 + (y_M - y_{A_1})^2 + (z_M - z_{A_1})^2} = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: $6$ см.

1.45. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$.

Ребро $MA$ перпендикулярно плоскости основания. Известно, что $AB = 3$ см, $AD = 4$ см и $AM = 2$ см. Плоскость, перпендикулярная ребру $MC$ и проходящая через его середину, пересекает прямые $AB$ и $AD$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Найдите отрезок $KP$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy — вдоль ребра AD, а ось Oz — вдоль ребра AM. Поскольку ребро MA перпендикулярно плоскости основания ABCD, а основание является прямоугольником (следовательно, $AB \perp AD$), выбранные оси будут взаимно перпендикулярны.

В этой системе координат вершины пирамиды будут иметь следующие координаты, исходя из данных задачи ($AB = 3$ см, $AD = 4$ см, $AM = 2$ см):
A(0, 0, 0)
B(3, 0, 0)
D(0, 4, 0)
C(3, 4, 0)
M(0, 0, 2)

По условию, секущая плоскость (назовем ее $\alpha$) перпендикулярна ребру MC и проходит через его середину. Найдем координаты середины N отрезка MC:
$N = (\frac{x_M+x_C}{2}; \frac{y_M+y_C}{2}; \frac{z_M+z_C}{2}) = (\frac{0+3}{2}; \frac{0+4}{2}; \frac{2+0}{2}) = (1.5; 2; 1)$.

Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой MC, то вектор $\vec{MC}$ является вектором нормали для этой плоскости. Найдем его координаты:
$\vec{MC} = \{x_C - x_M; y_C - y_M; z_C - z_M\} = \{3 - 0; 4 - 0; 0 - 2\} = \{3; 4; -2\}$.

Уравнение плоскости с нормальным вектором $\vec{n} = \{a; b; c\}$, проходящей через точку $T(x_0; y_0; z_0)$, имеет вид: $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$. Подставим координаты точки N(1.5; 2; 1) и вектора нормали $\vec{MC} = \{3; 4; -2\}$:
$3(x - 1.5) + 4(y - 2) - 2(z - 1) = 0$
$3x - 4.5 + 4y - 8 - 2z + 2 = 0$
$3x + 4y - 2z - 10.5 = 0$Это и есть уравнение плоскости $\alpha$.

Точка K — это точка пересечения плоскости $\alpha$ с прямой AB. Прямая AB совпадает с осью Ox, поэтому для любой точки на этой прямой координаты $y=0$ и $z=0$. Подставим их в уравнение плоскости, чтобы найти x-координату точки K:
$3x + 4(0) - 2(0) - 10.5 = 0$
$3x = 10.5$
$x = 3.5$
Следовательно, координаты точки K: (3.5; 0; 0).

Точка P — это точка пересечения плоскости $\alpha$ с прямой AD. Прямая AD совпадает с осью Oy, поэтому для любой точки на этой прямой $x=0$ и $z=0$. Подставим их в уравнение плоскости, чтобы найти y-координату точки P:
$3(0) + 4y - 2(0) - 10.5 = 0$
$4y = 10.5$
$y = \frac{10.5}{4} = \frac{21}{8} = 2.625$
Следовательно, координаты точки P: (0; 2.625; 0).

Теперь найдем длину отрезка KP, используя формулу расстояния между двумя точками K(3.5; 0; 0) и P(0; 2.625; 0). Так как обе точки лежат в плоскости Oxy (плоскости основания), задача сводится к нахождению гипотенузы в прямоугольном треугольнике AKP с катетами $AK = 3.5$ и $AP = 2.625$.
$KP = \sqrt{(x_K - x_P)^2 + (y_K - y_P)^2 + (z_K - z_P)^2}$
$KP = \sqrt{(3.5 - 0)^2 + (0 - 2.625)^2 + (0 - 0)^2}$
$KP = \sqrt{3.5^2 + (-2.625)^2} = \sqrt{(\frac{7}{2})^2 + (\frac{21}{8})^2}$
$KP = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{441}{64}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 16}{64} + \frac{441}{64}} = \sqrt{\frac{784 + 441}{64}} = \sqrt{\frac{1225}{64}}$
$KP = \frac{\sqrt{1225}}{\sqrt{64}} = \frac{35}{8} = 4.375$.
Ответ: $\frac{35}{8}$ см.

1.46. Основания равнобокой трапеции равны 13 см и 37 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Обозначим данную равнобокую трапецию как ABCD, где AD и BC — её основания.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
- Длина меньшего основания: $b = BC = 13$ см.
- Длина большего основания: $a = AD = 37$ см.
- Трапеция является равнобокой, что означает равенство боковых сторон ($AB = CD$) и равенство диагоналей ($AC = BD$).
- Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Требуется найти площадь трапеции $S$.

Площадь трапеции вычисляется по стандартной формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ — высота трапеции.

Чтобы найти площадь, нам необходимо определить высоту $h$. Для этого воспользуемся свойствами трапеции. Пусть диагонали пересекаются в точке O.

В равнобокой трапеции треугольники, образованные основаниями и отрезками диагоналей, являются равнобедренными. То есть, $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ — равнобедренные ($BO=CO$ и $AO=DO$). Поскольку диагонали по условию перпендикулярны, то углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ равны $90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

Проведем высоту трапеции через точку O. Эта высота $h$ будет суммой высот $h_1$ и $h_2$ треугольников $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ соответственно, проведенных из вершины O к основаниям (гипотенузам) BC и AD. Таким образом, $h = h_1 + h_2$.

Известно, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, равна половине длины этой гипотенузы.

Для треугольника $\triangle BOC$ гипотенузой является основание BC. Его высота $h_1$ равна: $h_1 = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2}$ см.

Аналогично, для треугольника $\triangle AOD$ гипотенузой является основание AD. Его высота $h_2$ равна: $h_2 = \frac{AD}{2} = \frac{37}{2}$ см.

Теперь найдем полную высоту трапеции $h$, сложив ее части: $h = h_1 + h_2 = \frac{13}{2} + \frac{37}{2} = \frac{13+37}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

Зная высоту и длины оснований, мы можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{37+13}{2} \cdot 25 = \frac{50}{2} \cdot 25 = 25 \cdot 25 = 625 \text{ см}^2$.

Таким образом, для равнобокой трапеции с перпендикулярными диагоналями ее высота равна полусумме оснований, а площадь — квадрату полусуммы оснований.

Ответ: $625 \text{ см}^2$.

1.47. По разные стороны от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 10 см. Найдите радиус окружности, если расстояние между хордами равно 9 см.

Пусть $O$ - центр окружности, $R$ - ее радиус. Пусть $AB$ и $CD$ - две параллельные хорды, расположенные по разные стороны от центра. По условию, $AB = 16$ см, $CD = 10$ см.

Проведем из центра окружности перпендикуляр $MN$ к этим хордам, где точка $M$ лежит на хорде $AB$, а точка $N$ - на хорде $CD$. Так как хорды параллельны, $MN$ является расстоянием между ними, то есть $MN = 9$ см.

Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно:
$AM = MB = AB / 2 = 16 / 2 = 8$ см.
$CN = ND = CD / 2 = 10 / 2 = 5$ см.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$. Гипотенузы $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности, то есть $OA = OC = R$.
По теореме Пифагора для $\triangle OMA$:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$R^2 = OM^2 + 8^2 = OM^2 + 64$
По теореме Пифагора для $\triangle ONC$:
$OC^2 = ON^2 + CN^2$
$R^2 = ON^2 + 5^2 = ON^2 + 25$

Так как хорды находятся по разные стороны от центра, расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до каждой хорды: $MN = OM + ON = 9$ см.
Пусть $OM = x$, тогда $ON = 9 - x$.

Приравняем выражения для $R^2$:
$OM^2 + 64 = ON^2 + 25$
Подставим выражения через $x$:
$x^2 + 64 = (9 - x)^2 + 25$
$x^2 + 64 = 81 - 18x + x^2 + 25$
$64 = 106 - 18x$
$18x = 106 - 64$
$18x = 42$
$x = 42/18 = 7/3$
Итак, $OM = 7/3$ см.

Теперь найдем радиус, подставив значение $OM$ в первое уравнение для $R^2$:
$R^2 = OM^2 + 64 = (7/3)^2 + 64$
$R^2 = 49/9 + 64 = 49/9 + 576/9$
$R^2 = 625/9$
$R = \sqrt{625/9} = 25/3 = 8 \frac{1}{3}$ см.

Ответ: радиус окружности равен $25/3$ см или $8 \frac{1}{3}$ см.