Страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.13. Найдите модуль вектора $\vec{m}(2; -5; \sqrt{7})$.

Модуль (длина) вектора, заданного своими координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов его координат. Для вектора $\vec{m}(x; y; z)$ в трехмерном пространстве формула для нахождения модуля $|\vec{m}|$ выглядит следующим образом:

$|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

В данном случае нам дан вектор $\vec{m}$ с координатами $(2; -5; \sqrt{7})$. Подставим эти значения в формулу, где $x=2$, $y=-5$ и $z=\sqrt{7}$:

$|\vec{m}| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + (\sqrt{7})^2}$

Теперь выполним вычисления под знаком корня:

$|\vec{m}| = \sqrt{4 + 25 + 7}$

Сложим полученные значения:

$|\vec{m}| = \sqrt{36}$

Извлечем квадратный корень:

$|\vec{m}| = 6$

Ответ: 6

2.14. Найдите модуль вектора $\overrightarrow{MK}$, если $M(10; -4; 20)$, $K(8; -2; 19)$.

Для того чтобы найти модуль (длину) вектора $\overrightarrow{MK}$, сначала необходимо найти его координаты. Координаты вектора, заданного начальной точкой $M(x_M; y_M; z_M)$ и конечной точкой $K(x_K; y_K; z_K)$, находятся по формуле:

$\overrightarrow{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M; z_K - z_M)$

Подставим в эту формулу координаты заданных точек $M(10; -4; 20)$ и $K(8; -2; 19)$:

$\overrightarrow{MK} = (8 - 10; -2 - (-4); 19 - 20)$

$\overrightarrow{MK} = (-2; 2; -1)$

Теперь, зная координаты вектора $\overrightarrow{MK} = (x; y; z)$, мы можем вычислить его модуль по формуле:

$|\overrightarrow{MK}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Подставляем координаты вектора $\overrightarrow{MK} = (-2; 2; -1)$:

$|\overrightarrow{MK}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3

2.15. Модуль вектора $\vec{a}(-4; y; 12)$ равен 13. Найдите значение $y$.

Модуль (или длина) вектора $\vec{a}(a_x; a_y; a_z)$ в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

В данной задаче нам дан вектор $\vec{a}(-4; y; 12)$ и его модуль $|\vec{a}| = 13$. Подставим эти значения в формулу:

$13 = \sqrt{(-4)^2 + y^2 + 12^2}$

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$13^2 = (-4)^2 + y^2 + 12^2$

Выполним вычисления:

$169 = 16 + y^2 + 144$

Сложим известные числа в правой части уравнения:

$169 = 160 + y^2$

Теперь выразим $y^2$:

$y^2 = 169 - 160$

$y^2 = 9$

Из этого уравнения находим значения $y$:

$y = \sqrt{9}$ или $y = -\sqrt{9}$

$y = 3$ или $y = -3$

Ответ: $y = \pm3$.

2.16. При каких значениях $k$ векторы $\vec{a}(4; k+3; 10)$ и $\vec{b}(k; 4; k+9)$ имеют равные модули?

Чтобы найти значения $k$, при которых модули векторов $\vec{a}(4; k+3; 10)$ и $\vec{b}(k; 4; k+9)$ различны, необходимо решить неравенство $|\vec{a}| \neq |\vec{b}|$.

Для упрощения, сначала найдем значения $k$, при которых модули векторов равны, то есть решим уравнение $|\vec{a}| = |\vec{b}|$. Это уравнение равносильно уравнению $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$, так как модуль вектора — неотрицательная величина.

Модуль вектора $\vec{v}(x; y; z)$ в квадрате вычисляется по формуле $|\vec{v}|^2 = x^2 + y^2 + z^2$.

Найдем квадраты модулей для данных векторов:
$|\vec{a}|^2 = 4^2 + (k+3)^2 + 10^2 = 16 + (k^2 + 6k + 9) + 100 = k^2 + 6k + 125$
$|\vec{b}|^2 = k^2 + 4^2 + (k+9)^2 = k^2 + 16 + (k^2 + 18k + 81) = 2k^2 + 18k + 97$

Теперь приравняем полученные выражения:
$k^2 + 6k + 125 = 2k^2 + 18k + 97$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$(2k^2 - k^2) + (18k - 6k) + (97 - 125) = 0$
$k^2 + 12k - 28 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней $k_1 + k_2 = -12$, а их произведение $k_1 \cdot k_2 = -28$. Подбирая значения, находим корни:
$k_1 = 2$
$k_2 = -14$
Действительно, $2 + (-14) = -12$ и $2 \cdot (-14) = -28$.

Таким образом, модули векторов равны при $k=2$ и $k=-14$. Следовательно, модули векторов будут разными при всех остальных действительных значениях $k$.

Ответ: $k \in (-\infty; -14) \cup (-14; 2) \cup (2; +\infty)$.

2.17. Найдите точку, являющуюся образом при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(6; -2; 3)$ точки:

1) $M(5; -3; 7)$;

2) $O(0; 0; 0)$;

3) $K(-4; 0; 1)$.

Для нахождения образа точки при параллельном переносе на заданный вектор, необходимо к координатам исходной точки прибавить соответствующие координаты вектора переноса. Пусть искомая точка $P'(x'; y'; z')$ является образом точки $P(x; y; z)$ при переносе на вектор $\vec{a}(a_x; a_y; a_z)$. Тогда ее координаты вычисляются по формулам:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$
$z' = z + a_z$

В данной задаче вектор переноса $\vec{a}(6; -2; 3)$.

1) Найдем образ точки $M(5; -3; 7)$. Обозначим его $M'(x'; y'; z')$.
$x' = 5 + 6 = 11$
$y' = -3 + (-2) = -5$
$z' = 7 + 3 = 10$
Следовательно, искомая точка – $M'(11; -5; 10)$.
Ответ: $(11; -5; 10)$.

2) Найдем образ точки $O(0; 0; 0)$. Обозначим его $O'(x'; y'; z')$.
$x' = 0 + 6 = 6$
$y' = 0 + (-2) = -2$
$z' = 0 + 3 = 3$
Следовательно, искомая точка – $O'(6; -2; 3)$.
Ответ: $(6; -2; 3)$.

3) Найдем образ точки $K(-4; 0; 1)$. Обозначим его $K'(x'; y'; z')$.
$x' = -4 + 6 = 2$
$y' = 0 + (-2) = -2$
$z' = 1 + 3 = 4$
Следовательно, искомая точка – $K'(2; -2; 4)$.
Ответ: $(2; -2; 4)$.

2.18. Найдите точку, являющуюся прообразом при параллельном переносе на вектор $\vec{m}(-2; 1; -3)$ точки:

1) $O(0; 0; 0);$

2) $C(-2; 1; -7).$

Параллельный перенос точки $A(x; y; z)$ на вектор $\vec{m}(a; b; c)$ в точку $A'(x'; y'; z')$ задается формулами:
$x' = x + a$
$y' = y + b$
$z' = z + c$
В задаче требуется найти прообраз, то есть исходную точку $A(x; y; z)$, зная образ $A'(x'; y'; z')$ и вектор переноса $\vec{m}(-2; 1; -3)$. Для этого необходимо выразить координаты $x, y, z$ из приведенных выше формул:
$x = x' - a$
$y = y' - b$
$z = z' - c$
Подставим координаты вектора $\vec{m}(-2; 1; -3)$, где $a=-2$, $b=1$, $c=-3$:
$x = x' - (-2) = x' + 2$
$y = y' - 1$
$z = z' - (-3) = z' + 3$

1) O (0; 0; 0)

Найдем прообраз точки $O(0; 0; 0)$. Координаты этой точки-образа: $x'=0$, $y'=0$, $z'=0$.
Подставим эти значения в формулы для координат прообраза:
$x = 0 + 2 = 2$
$y = 0 - 1 = -1$
$z = 0 + 3 = 3$
Таким образом, прообразом точки $O(0; 0; 0)$ является точка с координатами $(2; -1; 3)$.
Ответ: $(2; -1; 3)$.

2) C (-2; 1; -7)

Найдем прообраз точки $C(-2; 1; -7)$. Координаты этой точки-образа: $x'=-2$, $y'=1$, $z'=-7$.
Подставим эти значения в формулы для координат прообраза:
$x = -2 + 2 = 0$
$y = 1 - 1 = 0$
$z = -7 + 3 = -4$
Таким образом, прообразом точки $C(-2; 1; -7)$ является точка с координатами $(0; 0; -4)$.
Ответ: $(0; 0; -4)$.

2.19. Даны точки A $( -8; 4; -4 )$ и B $( 5; -6; 1 )$. Найдите вектор, задающий параллельный перенос, при котором:

1) образом точки A является точка B;

2) образом точки B является точка A.

Параллельный перенос, который отображает точку $M(x_M; y_M; z_M)$ в точку $N(x_N; y_N; z_N)$, задается вектором $\vec{p} = \vec{MN}$. Координаты этого вектора вычисляются как разность соответствующих координат конечной и начальной точек:

$\vec{p} = (x_N - x_M; y_N - y_M; z_N - z_M)$

В данной задаче нам даны точки $A(-8; 4; -4)$ и $B(5; -6; 1)$.

1) образом точки A является точка B

В этом случае точка $A$ является начальной, а точка $B$ — конечной. Вектор параллельного переноса $\vec{p}$ будет равен вектору $\vec{AB}$. Найдем его координаты:

$\vec{p} = \vec{AB} = (5 - (-8); -6 - 4; 1 - (-4)) = (5 + 8; -10; 1 + 4) = (13; -10; 5)$.

Ответ: $(13; -10; 5)$.

2) образом точки B является точка A

В этом случае точка $B$ является начальной, а точка $A$ — конечной. Вектор параллельного переноса $\vec{q}$ будет равен вектору $\vec{BA}$. Найдем его координаты:

$\vec{q} = \vec{BA} = (-8 - 5; 4 - (-6); -4 - 1) = (-13; 4 + 6; -5) = (-13; 10; -5)$.

Заметим, что вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Ответ: $(-13; 10; -5)$.

2.20. Используя векторы, докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-4; 2; 5)$, $B(-6; 3; 0)$, $C(12; -8; 1)$ и $D(14; -9; 6)$ является параллелограммом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо и достаточно доказать равенство векторов, представляющих его противоположные стороны. Например, докажем, что вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора определяются как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек. Даны точки A(-4; 2; 5) и B(-6; 3; 0).

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-6 - (-4); 3 - 2; 0 - 5) = (-2; 1; -5)$.

2. Теперь найдем координаты вектора $\vec{DC}$. Даны точки D(14; -9; 6) и C(12; -8; 1).

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (12 - 14; -8 - (-9); 1 - 6) = (-2; 1; -5)$.

3. Сравним полученные координаты векторов.

$\vec{AB} = (-2; 1; -5)$
$\vec{DC} = (-2; 1; -5)$

Так как соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, то и сами векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ означает, что отрезки AB и DC параллельны и их длины равны. Это является достаточным признаком параллелограмма. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.21. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (10; -8; -1)$, $C (-2; 4; 4)$ и $D (11; -20; 10)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $B$.

Для параллелограмма $ABCD$ характерно равенство векторов его противоположных сторон. Это означает, что вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$, а вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$. Мы можем использовать любое из этих равенств для нахождения координат вершины $B$. Воспользуемся равенством $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Пусть искомая вершина $B$ имеет координаты $(x_B; y_B; z_B)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{DC}$, зная координаты точек $D(11; -20; 10)$ и $C(-2; 4; 4)$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (-2 - 11; 4 - (-20); 4 - 10) = (-13; 24; -6)$

2. Теперь выразим координаты вектора $\vec{AB}$ через известные координаты точки $A(10; -8; -1)$ и неизвестные координаты точки $B(x_B; y_B; z_B)$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (x_B - 10; y_B - (-8); z_B - (-1)) = (x_B - 10; y_B + 8; z_B + 1)$

3. Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, их соответствующие координаты также равны. Приравняем их и составим систему уравнений для нахождения координат точки $B$.

$ \begin{cases} x_B - 10 = -13 \\ y_B + 8 = 24 \\ z_B + 1 = -6 \end{cases} $

4. Решим полученную систему уравнений:

$ \begin{cases} x_B = -13 + 10 \\ y_B = 24 - 8 \\ z_B = -6 - 1 \end{cases} $

$ \begin{cases} x_B = -3 \\ y_B = 16 \\ z_B = -7 \end{cases} $

Таким образом, координаты вершины $B$ равны $(-3; 16; -7)$.

Ответ: $(-3; 16; -7)$

2.22. Модуль вектора $\vec{m}$ равен $4\sqrt{3}$, а его координаты равны. Найдите координаты вектора $\vec{m}$.

Пусть координаты вектора $\vec{m}$ в трехмерном пространстве равны $(x, y, z)$.

По условию задачи, все его координаты равны между собой. Обозначим это равное значение через $a$. Тогда $x = y = z = a$, и вектор можно записать как $\vec{m} = (a, a, a)$.

Модуль (или длина) вектора с координатами $(x, y, z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Подставим координаты нашего вектора в эту формулу: $|\vec{m}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2}$

Из условия известно, что модуль вектора $\vec{m}$ равен $4\sqrt{3}$. Приравняем полученное выражение к этому значению и решим уравнение относительно $a$: $\sqrt{3a^2} = 4\sqrt{3}$

Упростим левую часть, используя свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ и то, что $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2} = 4\sqrt{3}$
$\sqrt{3} \cdot |a| = 4\sqrt{3}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$: $|a| = 4$

Это уравнение имеет два возможных решения для $a$: $a = 4$ или $a = -4$.

Таким образом, существуют два вектора, удовлетворяющих условию задачи:
1. Если $a = 4$, то координаты вектора $\vec{m}$ равны $(4, 4, 4)$.
2. Если $a = -4$, то координаты вектора $\vec{m}$ равны $(-4, -4, -4)$.

Ответ: $(4, 4, 4)$ или $(-4, -4, -4)$.

2.23. Модуль вектора $\vec{c}$ $(x; y; z)$ равен 9, его координаты $x$ и $z$ равны, а координаты $x$ и $y$ — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{c}$.

Пусть дан вектор $\vec{c}$ с координатами $(x; y; z)$.

Модуль (длина) вектора вычисляется по формуле: $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. По условию задачи, модуль вектора равен 9, то есть $|\vec{c}| = 9$.

Из условия также известны следующие соотношения между координатами:
1. Координаты $x$ и $z$ равны, что можно записать как $z = x$.
2. Координаты $x$ и $y$ являются противоположными числами, что означает $y = -x$.

Подставим эти выражения для $y$ и $z$, а также значение модуля, в формулу длины вектора:
$9 = \sqrt{x^2 + (-x)^2 + x^2}$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$. Сначала упростим выражение под корнем:
$9 = \sqrt{x^2 + x^2 + x^2}$
$9 = \sqrt{3x^2}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$9^2 = (\sqrt{3x^2})^2$
$81 = 3x^2$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x^2$:
$x^2 = \frac{81}{3}$
$x^2 = 27$

Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень из 27. Уравнение имеет два решения:
$x = \pm\sqrt{27}$
Упростим корень: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Следовательно, $x = 3\sqrt{3}$ или $x = -3\sqrt{3}$.

Рассмотрим оба возможных случая для нахождения координат вектора.

Случай 1: $x = 3\sqrt{3}$.
Находим соответствующие значения $y$ и $z$:
$y = -x = -3\sqrt{3}$
$z = x = 3\sqrt{3}$
Таким образом, один из возможных векторов имеет координаты $(3\sqrt{3}; -3\sqrt{3}; 3\sqrt{3})$.

Случай 2: $x = -3\sqrt{3}$.
Находим соответствующие значения $y$ и $z$:
$y = -x = -(-3\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}$
$z = x = -3\sqrt{3}$
Таким образом, второй возможный вектор имеет координаты $(-3\sqrt{3}; 3\sqrt{3}; -3\sqrt{3})$.

Ответ: $(3\sqrt{3}; -3\sqrt{3}; 3\sqrt{3})$ или $(-3\sqrt{3}; 3\sqrt{3}; -3\sqrt{3})$.

2.24. При параллельном переносе образом точки $A(-2; -1; 3)$ является точка $A_1(-4; 1; -5)$. Найдите образ $B_1$ точки $B(7; -5; 4)$ при этом параллельном переносе.

Параллельный перенос, при котором точка $M(x; y; z)$ переходит в точку $M_1(x_1; y_1; z_1)$, задается формулами:
$x_1 = x + a$
$y_1 = y + b$
$z_1 = z + c$
где $a$, $b$, $c$ — компоненты вектора параллельного переноса $\vec{v}(a; b; c)$.

Сначала найдем компоненты вектора переноса, используя координаты точек $A(-2; -1; 3)$ и ее образа $A_1(-4; 1; -5)$.

Для координаты $x$:
$-4 = -2 + a$
$a = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2$

Для координаты $y$:
$1 = -1 + b$
$b = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

Для координаты $z$:
$-5 = 3 + c$
$c = -5 - 3 = -8$

Таким образом, параллельный перенос задается вектором $\vec{v}(-2; 2; -8)$.

Теперь применим этот же перенос к точке $B(7; -5; 4)$, чтобы найти координаты ее образа $B_1(x_1; y_1; z_1)$.

$x_1 = 7 + a = 7 + (-2) = 5$
$y_1 = -5 + b = -5 + 2 = -3$
$z_1 = 4 + c = 4 + (-8) = -4$

Координаты образа точки $B$ равны $(5; -3; -4)$.

Ответ: $B_1(5; -3; -4)$.

2.25. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $M(-4; 7; -2)$ является точка $M_1(-8; 1; -7)$, а образом точки $N(-1; 4; -2)$ — точка $N_1(-5; -2; -7)$?

Параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки пространства смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение можно описать вектором переноса $\vec{v} = (a; b; c)$. Если точка $P(x; y; z)$ переходит в точку $P_1(x_1; y_1; z_1)$, то координаты вектора переноса равны разности координат соответствующих точек: $\vec{v} = (x_1 - x; y_1 - y; z_1 - z)$.

Для того чтобы один и тот же параллельный перенос переводил точку $M$ в $M_1$ и точку $N$ в $N_1$, векторы переноса $\vec{MM_1}$ и $\vec{NN_1}$ должны быть равны.

1. Найдем вектор переноса $\vec{v_1}$, который отображает точку $M(-4; 7; -2)$ на точку $M_1(-8; 1; -7)$.

Координаты вектора $\vec{MM_1}$ вычисляются по формуле:

$\vec{MM_1} = (x_{M_1} - x_M; y_{M_1} - y_M; z_{M_1} - z_M)$

$\vec{MM_1} = (-8 - (-4); 1 - 7; -7 - (-2)) = (-8 + 4; -6; -7 + 2) = (-4; -6; -5)$.

Таким образом, $\vec{v_1} = (-4; -6; -5)$.

2. Найдем вектор переноса $\vec{v_2}$, который отображает точку $N(-1; 4; -2)$ на точку $N_1(-5; -2; -7)$.

Координаты вектора $\vec{NN_1}$ вычисляются аналогично:

$\vec{NN_1} = (x_{N_1} - x_N; y_{N_1} - y_N; z_{N_1} - z_N)$

$\vec{NN_1} = (-5 - (-1); -2 - 4; -7 - (-2)) = (-5 + 1; -6; -7 + 2) = (-4; -6; -5)$.

Таким образом, $\vec{v_2} = (-4; -6; -5)$.

3. Сравним полученные векторы переноса.

$\vec{v_1} = (-4; -6; -5)$ и $\vec{v_2} = (-4; -6; -5)$.

Поскольку $\vec{v_1} = \vec{v_2}$, это означает, что существует один и тот же параллельный перенос, который переводит точку $M$ в $M_1$ и точку $N$ в $N_1$. Этот перенос задается вектором $\vec{v} = (-4; -6; -5)$.

Ответ: да, существует.

2.26. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что компланарны векторы:

1) $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{A_1B_1}$;

2) $\vec{DB_1}$, $\vec{D_1B}$ и $\vec{CC_1}$.

Для доказательства компланарности векторов воспользуемся векторным методом. Введем три некомпланарных базисных вектора, исходящих из одной вершины параллелепипеда, например, из вершины $A$: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Три вектора являются компланарными, если один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других, то есть если они линейно зависимы.

1) Докажем, что векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{A_1B_1}$ компланарны.

Выразим каждый из этих векторов через базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания $ABCD$. По правилу параллелограмма для сложения векторов: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.

Вектор $\vec{BD}$ является второй диагональю основания $ABCD$. По правилу треугольника: $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD} = -\vec{a} + \vec{b}$.

Вектор $\vec{A_1B_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{AB}$, так как $ABB_1A_1$ — параллелограмм: $\vec{A_1B_1} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Теперь проверим, можно ли один из векторов выразить через два других. Попробуем выразить $\vec{AC}$ через $\vec{BD}$ и $\vec{A_1B_1}$, то есть найти такие числа $x$ и $y$, что $\vec{AC} = x \cdot \vec{BD} + y \cdot \vec{A_1B_1}$. Подставим их выражения через базисные векторы: $\vec{a} + \vec{b} = x(-\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a})$ $\vec{a} + \vec{b} = -x\vec{a} + x\vec{b} + y\vec{a}$ $\vec{a} + \vec{b} = (y-x)\vec{a} + x\vec{b}$

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны (они лежат на смежных ребрах параллелограмма), равенство возможно только тогда, когда коэффициенты при них в левой и правой частях равны. Составим систему уравнений: $ \begin{cases} 1 = y - x \\ 1 = x \end{cases} $

Из второго уравнения получаем $x=1$. Подставив это значение в первое, находим $y$: $1 = y - 1 \Rightarrow y = 2$.

Мы нашли такие числа $x=1$ и $y=2$, что $\vec{AC} = 1 \cdot \vec{BD} + 2 \cdot \vec{A_1B_1}$. Это означает, что векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{A_1B_1}$ линейно зависимы, а значит, компланарны.

Геометрически это означает, что все три вектора параллельны одной плоскости. В данном случае, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ лежат в плоскости основания $ABCD$. Вектор $\vec{A_1B_1}$ параллелен вектору $\vec{AB}$, который также лежит в этой плоскости. Следовательно, все три вектора параллельны плоскости $(ABC)$, что и означает их компланарность.

Ответ: Векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{A_1B_1}$ компланарны, что и требовалось доказать.

2) Докажем, что векторы $\vec{DB_1}$, $\vec{D_1B}$ и $\vec{CC_1}$ компланарны.

Аналогично выразим эти векторы через базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Вектор $\vec{DB_1}$ является пространственной диагональю параллелепипеда. Найдем его по правилу многоугольника: $\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BB_1} = -\vec{AD} + \vec{AB} + \vec{AA_1} = -\vec{b} + \vec{a} + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Вектор $\vec{D_1B}$ является другой пространственной диагональю. $\vec{D_1B} = \vec{D_1A_1} + \vec{A_1A} + \vec{AB} = -\vec{A_1D_1} - \vec{AA_1} + \vec{AB} = -\vec{AD} - \vec{AA_1} + \vec{AB} = -\vec{b} - \vec{c} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$.

Вектор $\vec{CC_1}$ является боковым ребром, параллельным и равным $\vec{AA_1}$: $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.

Проверим их на линейную зависимость. Попробуем выразить $\vec{DB_1}$ через $\vec{D_1B}$ и $\vec{CC_1}$, то есть найти такие числа $x$ и $y$, что $\vec{DB_1} = x \cdot \vec{D_1B} + y \cdot \vec{CC_1}$. Подставим выражения через базисные векторы: $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = x(\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) + y(\vec{c})$ $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = x\vec{a} - x\vec{b} - x\vec{c} + y\vec{c}$ $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = x\vec{a} - x\vec{b} + (y-x)\vec{c}$

Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не компланарны (линейно независимы), приравняем коэффициенты при них: $ \begin{cases} 1 = x \\ -1 = -x \\ 1 = y - x \end{cases} $

Из первого и второго уравнений следует, что $x=1$. Подставив это значение в третье уравнение, находим $y$: $1 = y - 1 \Rightarrow y = 2$.

Мы нашли такие числа $x=1$ и $y=2$, что $\vec{DB_1} = 1 \cdot \vec{D_1B} + 2 \cdot \vec{CC_1}$. Это доказывает, что векторы $\vec{DB_1}$, $\vec{D_1B}$ и $\vec{CC_1}$ линейно зависимы и, следовательно, компланарны.

Геометрически это можно увидеть, рассмотрев диагональное сечение $DBB_1D_1$. Это сечение является параллелограммом. Его диагоналями являются отрезки $DB_1$ и $D_1B$. Следовательно, векторы $\vec{DB_1}$ и $\vec{D_1B}$ лежат в плоскости этого сечения $(DBB_1)$. Вектор $\vec{CC_1}$ параллелен ребру $\vec{DD_1}$ (а также $\vec{BB_1}$), которое является стороной этого сечения и, следовательно, лежит в его плоскости. Таким образом, все три вектора параллельны одной плоскости $(DBB_1D_1)$, а значит, они компланарны.

Ответ: Векторы $\vec{DB_1}$, $\vec{D_1B}$ и $\vec{CC_1}$ компланарны, что и требовалось доказать.

2.27. Дана треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$. Докажите, что компланарны векторы:

1) $\overrightarrow{B_1 C}$, $\overrightarrow{A B_1}$ и $\overrightarrow{A_1 C_1}$;

2) $\overrightarrow{CB_1}$, $\overrightarrow{C_1 B}$ и $\overrightarrow{AA_1}$.

Чтобы доказать, что три вектора компланарны, достаточно показать, что один из них можно выразить через два других (то есть векторы линейно зависимы). Для этого введем базисные векторы, исходящие из одной вершины призмы, например, из вершины A: $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AC}$ и $\vec{c} = \vec{AA_1}$. Эти три вектора некомпланарны.

Докажем компланарность векторов $\vec{B_1C}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{A_1C_1}$.

Выразим каждый из этих векторов через базис $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

• По свойству призмы, $\vec{A_1C_1} = \vec{AC} = \vec{b}$.
• По правилу сложения векторов (правило параллелограмма): $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Так как $\vec{BB_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$, то $\vec{AB_1} = \vec{a} + \vec{c}$.
• Используя правило многоугольника для сложения векторов: $\vec{B_1C} = \vec{B_1B} + \vec{BA} + \vec{AC}$. Так как $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{c}$ и $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$, то $\vec{B_1C} = -\vec{c} - \vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Теперь проверим, существуют ли такие числа $\alpha$ и $\beta$, для которых выполняется равенство: $\vec{B_1C} = \alpha \cdot \vec{AB_1} + \beta \cdot \vec{A_1C_1}$.

Подставим разложения векторов по базису:

$-\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \alpha (\vec{a} + \vec{c}) + \beta (\vec{b})$

$-\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \alpha\vec{c}$

Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ линейно независимы, мы можем приравнять коэффициенты при них в левой и правой частях равенства:

$\begin{cases} \text{при } \vec{a}: & -1 = \alpha \\ \text{при } \vec{b}: & 1 = \beta \\ \text{при } \vec{c}: & -1 = \alpha \end{cases}$

Эта система имеет решение: $\alpha = -1$ и $\beta = 1$.

Таким образом, мы нашли линейную комбинацию: $\vec{B_1C} = -\vec{AB_1} + \vec{A_1C_1}$. Это доказывает, что векторы $\vec{B_1C}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{A_1C_1}$ компланарны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Докажем компланарность векторов $\vec{CB_1}$, $\vec{C_1B}$ и $\vec{AA_1}$.

Используем тот же базис $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AC}$, $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

Выразим каждый из векторов через базис:

• По определению базиса: $\vec{AA_1} = \vec{c}$.
• По правилу многоугольника: $\vec{CB_1} = \vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BB_1} = -\vec{AC} + \vec{AB} + \vec{AA_1} = -\vec{b} + \vec{a} + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.
• По правилу многоугольника: $\vec{C_1B} = \vec{C_1C} + \vec{CB} = -\vec{CC_1} + (\vec{AB} - \vec{AC}) = -\vec{AA_1} + \vec{AB} - \vec{AC} = -\vec{c} + \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$.

Проверим, существуют ли такие числа $\alpha$ и $\beta$, для которых выполняется равенство: $\vec{CB_1} = \alpha \cdot \vec{C_1B} + \beta \cdot \vec{AA_1}$.

Подставим разложения векторов по базису:

$\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \alpha (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) + \beta (\vec{c})$

$\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \alpha\vec{a} - \alpha\vec{b} + (-\alpha + \beta)\vec{c}$

Приравняем коэффициенты при базисных векторах:

$\begin{cases} \text{при } \vec{a}: & 1 = \alpha \\ \text{при } \vec{b}: & -1 = -\alpha \\ \text{при } \vec{c}: & 1 = -\alpha + \beta \end{cases}$

Из первого и второго уравнений получаем $\alpha = 1$. Подставив это значение в третье уравнение, находим $\beta$: $1 = -1 + \beta$, откуда $\beta = 2$.

Система имеет решение: $\alpha = 1$ и $\beta = 2$.

Следовательно, мы можем записать: $\vec{CB_1} = 1 \cdot \vec{C_1B} + 2 \cdot \vec{AA_1}$. Это доказывает, что векторы $\vec{CB_1}$, $\vec{C_1B}$ и $\vec{AA_1}$ компланарны.

Ответ: Что и требовалось доказать.