Страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.10. Даны векторы $\vec{m}$ (3; -1; 2) и $\vec{n}$ (4; -2; -3). Найдите:

1) координаты вектора $\vec{m} - \vec{n}$;

2) $|\vec{m} - \vec{n}|.$

1) координаты вектора $\vec{m}-\vec{n}$

Чтобы найти координаты разности векторов $\vec{m}(3; -1; 2)$ и $\vec{n}(4; -2; -3)$, необходимо из координат вектора $\vec{m}$ вычесть соответствующие координаты вектора $\vec{n}$.

Пусть $\vec{c} = \vec{m} - \vec{n}$. Координаты вектора $\vec{c}$ вычисляются по формулам:

$c_x = m_x - n_x = 3 - 4 = -1$

$c_y = m_y - n_y = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$

$c_z = m_z - n_z = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$

Таким образом, вектор $\vec{m} - \vec{n}$ имеет координаты $(-1; 1; 5)$.

Ответ: $(-1; 1; 5)$.

2) $|\vec{m}-\vec{n}|$

Модуль (или длина) вектора $\vec{a}(a_x; a_y; a_z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Для нахождения $|\vec{m}-\vec{n}|$ воспользуемся координатами вектора $\vec{m}-\vec{n}$, которые мы нашли в первом пункте: $(-1; 1; 5)$.

Подставим эти координаты в формулу модуля:

$|\vec{m} - \vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 5^2}$

Выполним вычисления под знаком корня:

$|\vec{m} - \vec{n}| = \sqrt{1 + 1 + 25} = \sqrt{27}$

Упростим полученное значение:

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

Следовательно, модуль вектора $\vec{m} - \vec{n}$ равен $3\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{3}$.

3.11. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.15). Укажите все векторы, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда, противоположные вектору:

Рис. 3.15

Противоположные векторы — это векторы, которые имеют равные модули (длины) и противоположные направления. Если дан вектор $\vec{a} = \vec{PQ}$, то противоположный ему вектор равен $-\vec{a} = \vec{QP}$. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соответствующие параллельным и равным по длине отрезкам (рёбрам или диагоналям), равны, если их направления совпадают.

1) $\vec{AD}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{AD}$, это вектор $-\vec{AD}$.
По определению, вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, так как $\vec{DA} = -\vec{AD}$.
В параллелепипеде противоположные грани являются равными параллелограммами. Поэтому векторы, соответствующие параллельным рёбрам, равны. Для вектора $\vec{AD}$ равными ему будут векторы $\vec{BC}$ (в грани $ABCD$), $\vec{A_1D_1}$ (в грани $A_1B_1C_1D_1$) и $\vec{B_1C_1}$ (так как $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$).
Следовательно, векторы, противоположные им, также будут противоположны вектору $\vec{AD}$.

• Противоположный $\vec{AD}$ это $\vec{DA}$.
• Противоположный $\vec{BC}$ это $\vec{CB}$.
• Противоположный $\vec{A_1D_1}$ это $\vec{D_1A_1}$.
• Противоположный $\vec{B_1C_1}$ это $\vec{C_1B_1}$.

Таким образом, все векторы, противоположные вектору $\vec{AD}$, это $\vec{DA}$, $\vec{CB}$, $\vec{D_1A_1}$, $\vec{C_1B_1}$.
Ответ: $\vec{DA}$, $\vec{CB}$, $\vec{D_1A_1}$, $\vec{C_1B_1}$.

2) $\vec{B_1D}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{B_1D}$, это вектор $-\vec{B_1D}$.
Вектор $\vec{B_1D}$ является пространственной диагональю параллелепипеда. По определению, вектор $\vec{DB_1}$ противоположен вектору $\vec{B_1D}$.
В общем случае в параллелепипеде нет других пар вершин, которые образовывали бы вектор, равный вектору $\vec{DB_1}$, так как пространственные диагонали не параллельны друг другу (если они не лежат на одной прямой, что невозможно для разных диагоналей). Таким образом, существует только один искомый вектор.
Ответ: $\vec{DB_1}$.

3) $\vec{AC}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{AC}$, это вектор $-\vec{AC}$.
Вектор $\vec{AC}$ является диагональю грани (основания) $ABCD$. Непосредственно по определению, вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$.
Поскольку грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны и равны, их соответствующие диагонали равны как векторы: $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$.
Следовательно, вектор, противоположный $\vec{A_1C_1}$, также будет противоположен $\vec{AC}$. Противоположным вектору $\vec{A_1C_1}$ является вектор $\vec{C_1A_1}$.
Таким образом, существует два вектора, противоположных вектору $\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{CA}$, $\vec{C_1A_1}$.

3.12. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (см. рис. 3.15). Укажите все векторы, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда, противоположные вектору:

1) $\vec{B_1B}$;

2) $\vec{CD_1}$.

Два вектора называются противоположными, если они имеют равные модули (длины) и противоположные направления. Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, — это вектор $-\vec{a}$. Если вектор задан начальной и конечной точками, например $\vec{PQ}$, то противоположный ему вектор будет $\vec{QP}$. Также противоположными вектору $\vec{PQ}$ будут все векторы, равные вектору $\vec{QP}$.

1) $\vec{B_1B}$

Вектор $\vec{B_1B}$ направлен от вершины $B_1$ к вершине $B$. Вектор, непосредственно ему противоположный, — это вектор $\vec{BB_1}$.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны и равны по длине. Следовательно, векторы, направленные вдоль этих ребер в одну сторону, равны. Вектору $\vec{BB_1}$ (направленному "вверх") равны следующие векторы:

• $\vec{AA_1}$
• $\vec{CC_1}$
• $\vec{DD_1}$

Таким образом, все векторы, противоположные вектору $\vec{B_1B}$, — это векторы, равные вектору $\vec{BB_1}$.

Ответ: $\vec{BB_1}$, $\vec{AA_1}$, $\vec{CC_1}$, $\vec{DD_1}$.

2) $\vec{CD_1}$

Вектор $\vec{CD_1}$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$. Вектор, непосредственно противоположный ему, — это вектор $\vec{D_1C}$.

Теперь необходимо найти все векторы в параллелепипеде, которые равны вектору $\vec{D_1C}$. Для этого рассмотрим грань $BAA_1B_1$, которая параллельна и конгруэнтна грани $CDD_1C_1$. Вектор, соответствующий вектору $\vec{D_1C}$ на этой грани, — это вектор $\vec{A_1B}$.

Докажем, что $\vec{D_1C} = \vec{A_1B}$. Рассмотрим четырехугольник $A_1BCD_1$. В параллелепипеде ребра $BC$ и $A_1D_1$ параллельны и равны (так как $BC$ параллельно и равно $AD$, а $AD$ параллельно и равно $A_1D_1$). Следовательно, $\vec{BC} = \vec{A_1D_1}$. Поскольку две противоположные стороны четырехугольника $A_1BCD_1$ параллельны и равны, он является параллелограммом. В параллелограмме другие две противоположные стороны также параллельны и равны, то есть $\vec{A_1B} = \vec{D_1C}$.

Таким образом, векторы, противоположные вектору $\vec{CD_1}$, это $\vec{D_1C}$ и $\vec{A_1B}$.

Ответ: $\vec{D_1C}$, $\vec{A_1B}$.

3.13. Каковы координаты вектора, противоположного вектору $\vec{a} (13; -10; 9)$?

Вектор, противоположный данному вектору, имеет те же модули координат, но с противоположными знаками. Противоположный вектор к вектору $ \vec{a} $ обозначается как $ -\vec{a} $.

Дан вектор $ \vec{a} \{13; -10; 9\} $.

Чтобы найти координаты противоположного вектора $ -\vec{a} $, нужно умножить каждую координату вектора $ \vec{a} $ на -1.

$ -\vec{a} = \{-1 \cdot 13; -1 \cdot (-10); -1 \cdot 9\} $

Выполним вычисления:
Первая координата: $ -1 \cdot 13 = -13 $
Вторая координата: $ -1 \cdot (-10) = 10 $
Третья координата: $ -1 \cdot 9 = -9 $

Таким образом, координаты вектора, противоположного вектору $ \vec{a} $, равны $ \{-13; 10; -9\} $.

Ответ: $ \{-13; 10; -9\} $

3.14. Упростите выражение:

1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{DC};$

2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} - \overrightarrow{EF}.$

1) Чтобы упростить выражение $\vec{AB} + \vec{CD} + \vec{BM} + \vec{MA} + \vec{NK} + \vec{DC}$, воспользуемся свойствами сложения векторов. Сгруппируем слагаемые, чтобы применить правило треугольника (правило Шаля) и свойство противоположных векторов ($\vec{XY} + \vec{YX} = \vec{0}$).

Переставим слагаемые:

$(\vec{AB} + \vec{BM} + \vec{MA}) + (\vec{CD} + \vec{DC}) + \vec{NK}$

Рассмотрим первую группу слагаемых. По правилу треугольника $\vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AM}$. Тогда выражение в скобках принимает вид:

$\vec{AM} + \vec{MA}$

Сумма векторов $\vec{AM}$ и $\vec{MA}$ равна нулевому вектору, так как это противоположные векторы:

$\vec{AM} + \vec{MA} = \vec{0}$

Рассмотрим вторую группу слагаемых:

$\vec{CD} + \vec{DC}$

Это также сумма противоположных векторов, которая равна нулевому вектору:

$\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}$

Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$\vec{0} + \vec{0} + \vec{NK} = \vec{NK}$

Ответ: $\vec{NK}$

2) Чтобы упростить выражение $\vec{AB} - \vec{CD} - \vec{AE} + \vec{CF} - \vec{EF}$, заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами, используя правило $-\vec{XY} = \vec{YX}$.

$\vec{AB} - \vec{CD} - \vec{AE} + \vec{CF} - \vec{EF} = \vec{AB} + \vec{DC} + \vec{EA} + \vec{CF} + \vec{FE}$

Теперь перегруппируем слагаемые так, чтобы можно было последовательно применить правило многоугольника (правило Шаля), согласно которому конец предыдущего вектора является началом следующего:

$\vec{EA} + \vec{AB} + \vec{DC} + \vec{CF} + \vec{FE}$

Можно составить другую, более удобную цепочку:

$\vec{DC} + \vec{CF} + \vec{FE} + \vec{EA} + \vec{AB}$

Теперь последовательно складываем векторы:

$(\vec{DC} + \vec{CF}) + \vec{FE} + \vec{EA} + \vec{AB} = \vec{DF} + \vec{FE} + \vec{EA} + \vec{AB}$

$(\vec{DF} + \vec{FE}) + \vec{EA} + \vec{AB} = \vec{DE} + \vec{EA} + \vec{AB}$

$(\vec{DE} + \vec{EA}) + \vec{AB} = \vec{DA} + \vec{AB}$

И наконец:

$\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$

Ответ: $\vec{DB}$

3.15. Упростите выражение:

1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM};$

2) $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{AC}.$

1)

Для упрощения данного векторного выражения воспользуемся свойствами сложения векторов: коммутативностью (возможностью менять слагаемые местами) и ассоциативностью (возможностью группировать слагаемые). Основным инструментом будет правило треугольника (или правило Шаля) для сложения векторов: $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ}$. Также учтем, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору: $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YX} = \vec{0}$.

Исходное выражение: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM}$.

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было последовательно применить правило треугольника, а также сложить противоположные векторы:
$(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DE}) + (\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FC})$

Теперь упростим каждую из групп:

• В первой группе: $(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{EM}$.
• Во второй группе: $\overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{FE}$.
• В третьей группе векторы $\overrightarrow{CF}$ и $\overrightarrow{FC}$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулевому вектору: $\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FC} = \vec{0}$.

Соберем упрощенные части вместе:
$\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{FE} + \vec{0}$

Поменяем слагаемые местами и снова применим правило треугольника:
$\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{EM} = \overrightarrow{FM}$

Ответ: $\overrightarrow{FM}$

2)

Рассмотрим выражение: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{AC}$.

Первым шагом преобразуем операции вычитания в сложение с противоположными векторами, используя правило $-\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{YX}$:
$-\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{FD}$
$-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$

Таким образом, выражение принимает вид:
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{CA}$

Теперь, используя коммутативность сложения, перегруппируем векторы так, чтобы конец предыдущего вектора совпадал с началом следующего:
$(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FD}) + \overrightarrow{DE}$

Применим правило треугольника к слагаемым в скобках:

• $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA}$
• $\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{AD}$

Подставим полученные результаты обратно в выражение:
$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$

Продолжим упрощение, последовательно применяя правило треугольника:
$(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BE}$

Ответ: $\overrightarrow{BE}$

3.16. Докажите, что векторы $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM}$ противоположны.

Два вектора называются противоположными, если их сумма равна нулевому вектору. Чтобы доказать, что векторы $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{BD}$ и $\vec{DA} - \vec{CM} + \vec{AM}$ противоположны, нужно показать, что их сумма равна $\vec{0}$.

Обозначим первый вектор как $\vec{v_1} = \vec{AB} - \vec{AC} + \vec{BD}$ и второй вектор как $\vec{v_2} = \vec{DA} - \vec{CM} + \vec{AM}$.

Упростим выражение для первого вектора $\vec{v_1}$.
Используем правило вычитания векторов, согласно которому $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
Подставим это в выражение для $\vec{v_1}$:$\vec{v_1} = \vec{CB} + \vec{BD}$.
Теперь используем правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{CB} + \vec{BD} = \vec{CD}$.
Таким образом, первый вектор равен $\vec{v_1} = \vec{CD}$.

Упростим выражение для второго вектора $\vec{v_2}$.
Перегруппируем слагаемые для удобства: $\vec{v_2} = (\vec{DA} + \vec{AM}) - \vec{CM}$.
По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{DA} + \vec{AM} = \vec{DM}$.
Подставим это в выражение для $\vec{v_2}$:$\vec{v_2} = \vec{DM} - \vec{CM}$.
Разность векторов $\vec{DM} - \vec{CM}$ можно представить как сумму $\vec{DM} + \vec{MC}$.
Снова по правилу треугольника: $\vec{DM} + \vec{MC} = \vec{DC}$.
Таким образом, второй вектор равен $\vec{v_2} = \vec{DC}$.

Теперь найдем сумму упрощенных векторов:
$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{CD} + \vec{DC}$.
Векторы $\vec{CD}$ и $\vec{DC}$ имеют равные модули и противоположные направления, следовательно, они являются противоположными векторами. Их сумма равна нулевому вектору:
$\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}$.
Поскольку сумма исходных векторов равна нулевому вектору, они противоположны, что и требовалось доказать.

Ответ: Векторы являются противоположными, так как после упрощения первый вектор равен $\vec{CD}$, а второй равен $\vec{DC}$, и их сумма $\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}$.

3.17. Докажите, что векторы $\vec{CD} + \vec{DE} - \vec{KE}$ и $\vec{MC} - \vec{MK} - \vec{EC}$ противоположны.

Чтобы доказать, что два вектора являются противоположными, необходимо показать, что их сумма равна нулевому вектору. Обозначим данные векторы как $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} = \vec{CD} + \vec{DE} - \vec{KE}$

$\vec{v_2} = \vec{MC} - \vec{MK} - \vec{EC}$

1. Упрощение первого вектора $\vec{v_1}$

Воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника): $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Сумма первых двух слагаемых: $\vec{CD} + \vec{DE} = \vec{CE}$.

Тогда выражение для $\vec{v_1}$ принимает вид: $\vec{v_1} = \vec{CE} - \vec{KE}$.

Используем свойство, что $-\vec{KE} = \vec{EK}$. Получаем:

$\vec{v_1} = \vec{CE} + \vec{EK}$.

Снова применяем правило треугольника:

$\vec{v_1} = \vec{CE} + \vec{EK} = \vec{CK}$.

2. Упрощение второго вектора $\vec{v_2}$

Воспользуемся правилом вычитания векторов с общим началом: $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$.

Разность первых двух слагаемых: $\vec{MC} - \vec{MK} = \vec{KC}$.

Тогда выражение для $\vec{v_2}$ принимает вид: $\vec{v_2} = \vec{KC} - \vec{EC}$.

Используем свойство, что $-\vec{EC} = \vec{CE}$. Получаем:

$\vec{v_2} = \vec{KC} + \vec{CE}$.

Применяем правило треугольника:

$\vec{v_2} = \vec{KC} + \vec{CE} = \vec{KE}$.

3. Анализ полученных результатов

Мы получили, что $\vec{v_1} = \vec{CK}$ и $\vec{v_2} = \vec{KE}$.

Проверим, являются ли эти векторы противоположными. Для этого найдем их сумму:

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{CK} + \vec{KE} = \vec{CE}$.

Сумма векторов равна $\vec{CE}$. Векторы являются противоположными, если их сумма равна нулевому вектору ($\vec{0}$). Это возможно, только если $\vec{CE} = \vec{0}$, то есть точки C и E совпадают. Поскольку это не выполняется в общем случае, в условии задачи, вероятно, содержится опечатка.

4. Решение задачи с исправленным условием

Наиболее вероятная опечатка заключается в последнем слагаемом второго вектора. Если предположить, что вместо $\vec{EC}$ должен быть нулевой вектор, например, $\vec{CC}$, то второй вектор будет равен $\vec{v_2'} = \vec{MC} - \vec{MK} - \vec{CC}$.

Упростим $\vec{v_2'}$:

$\vec{v_2'} = (\vec{MC} - \vec{MK}) - \vec{CC} = \vec{KC} - \vec{0} = \vec{KC}$.

Теперь сравним $\vec{v_1} = \vec{CK}$ и $\vec{v_2'} = \vec{KC}$.

По определению, вектор $\vec{KC}$ является противоположным вектору $\vec{CK}$, то есть $\vec{KC} = -\vec{CK}$.

Таким образом, $\vec{v_2'} = -\vec{v_1}$, что доказывает, что векторы (в исправленной формулировке) противоположны.

Ответ: В исходной формулировке задачи утверждение верно только в частном случае, когда точки C и E совпадают, так как сумма данных векторов равна $\vec{CE}$. Если предположить, что в условии опечатка и второй вектор равен $\vec{MC} - \vec{MK} - \vec{CC}$, то задача решается следующим образом: первый вектор упрощается до $\vec{CK}$, а исправленный второй — до $\vec{KC}$. Векторы $\vec{CK}$ и $\vec{KC}$ являются противоположными, так как $\vec{KC} = -\vec{CK}$.

3.18. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите сумму $\vec{A_1 A} + \vec{B_1 C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$.

Для того чтобы найти сумму векторов $\vec{A_1A} + \vec{B_1C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$, воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и правилами сложения векторов.

Запишем исходное выражение:

$S = \vec{A_1A} + \vec{B_1C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным и равным по длине ребрам, равны. Используем следующие равенства:

1. Векторы боковых ребер равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Отсюда следует, что $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1}$.

2. Векторы противоположных сторон оснований равны: $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$.

Подставим эти равенства в исходное выражение:

$S = (-\vec{AA_1}) + \vec{BC} + \vec{BC} + \vec{AA_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

Сгруппируем и упростим слагаемые:

$S = (\vec{AA_1} - \vec{AA_1}) + (\vec{BC} + \vec{BC}) + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

$S = \vec{0} + 2\vec{BC} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

$S = 2\vec{BC} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

Теперь разложим вектор $\vec{CB_1}$ по правилу треугольника (правило Шаля):

$\vec{CB_1} = \vec{CB} + \vec{BB_1}$

Так как $\vec{CB} = -\vec{BC}$, получаем:

$\vec{CB_1} = -\vec{BC} + \vec{BB_1}$

Подставим это выражение в нашу сумму:

$S = 2\vec{BC} + \vec{AB} + (-\vec{BC} + \vec{BB_1})$

$S = 2\vec{BC} - \vec{BC} + \vec{AB} + \vec{BB_1}$

$S = \vec{BC} + \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Поменяем местами слагаемые для удобства применения правила треугольника:

$S = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{BB_1}$

Сумма векторов $\vec{AB} + \vec{BC}$ по правилу треугольника равна вектору $\vec{AC}$:

$S = (\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{BB_1} = \vec{AC} + \vec{BB_1}$

Чтобы завершить сложение, заменим вектор $\vec{BB_1}$ на равный ему вектор $\vec{CC_1}$:

$S = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

Вновь применяя правило треугольника, получаем окончательный результат:

$S = \vec{AC_1}$

Ответ: $\vec{AC_1}$

3.19. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите сумму $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{CB}$.

Обозначим искомую сумму векторов как $\vec{S}$.

$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{DC} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{A_1D_1} + \vec{CB}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойствами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В параллелепипеде противоположные рёбра параллельны и равны по длине, что позволяет нам выразить одни векторы через другие на основе этого свойства.

Заменим некоторые векторы в сумме на равные им:

1. Так как грань $ABCD$ является параллелограммом, то $\vec{DC} = \vec{AB}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$.

2. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

3. Так как грань $ADD_1A_1$ является параллелограммом, то $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$.

4. Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$. Поскольку $\vec{BC} = \vec{AD}$, то $\vec{CB} = -\vec{AD}$.

Подставим эти выражения в исходную сумму, заменяя векторы $\vec{DC}$, $\vec{BA}$, $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{CB}$:

$\vec{S} = \vec{AC} + (\vec{AB}) + \vec{DA} + (-\vec{AB}) + (\vec{AD}) + (-\vec{AD})$

Теперь сгруппируем и упростим слагаемые. Можно заметить, что некоторые векторы взаимно уничтожаются:

$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{DA} + (\vec{AB} - \vec{AB}) + (\vec{AD} - \vec{AD})$

Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору ($\vec{v} - \vec{v} = \vec{0}$), поэтому:

$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{DA} + \vec{0} + \vec{0}$

$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{DA}$

Используя переместительное свойство сложения векторов, запишем:

$\vec{S} = \vec{DA} + \vec{AC}$

По правилу треугольника (правило Шаля), сумма векторов, где начало второго вектора совпадает с концом первого, равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго. В нашем случае это вектор $\vec{DC}$:

$\vec{DA} + \vec{AC} = \vec{DC}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна $\vec{DC}$.

Ответ: $\vec{DC}$

3.20. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите вектор, равный $\vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{C_1D_1}$.

Для нахождения вектора, равного выражению $\vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{C_1D_1}$, воспользуемся свойствами векторов в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и правилами действий с векторами. Преобразуем векторы $\vec{B_1C}$ и $\vec{C_1D_1}$ так, чтобы их можно было легко сложить с $\vec{AA_1}$.

1. Рассмотрим вектор $\vec{B_1C}$. Он является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. По правилу треугольника для сложения векторов, мы можем разложить его на сумму векторов, идущих по ребрам куба:

$\vec{B_1C} = \vec{B_1B} + \vec{BC}$

В кубе все боковые ребра параллельны и равны по длине, поэтому соответствующие векторы равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$. Отсюда следует, что вектор $\vec{B_1B}$ является противоположным вектору $\vec{BB_1}$, то есть $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{AA_1}$.

Подставим это в выражение для $\vec{B_1C}$:

$\vec{B_1C} = -\vec{AA_1} + \vec{BC}$

2. Рассмотрим вектор $\vec{C_1D_1}$. Он является ребром верхней грани куба. В кубе ребро $D_1C_1$ параллельно, равно по длине и сонаправлено с ребром $AB$ нижнего основания. Следовательно, $\vec{D_1C_1} = \vec{AB}$.

Вектор $\vec{C_1D_1}$ противоположен вектору $\vec{D_1C_1}$, поэтому:

$\vec{C_1D_1} = -\vec{D_1C_1} = -\vec{AB}$

3. Теперь подставим найденные выражения для векторов $\vec{B_1C}$ и $\vec{C_1D_1}$ в исходное выражение:

$\vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{C_1D_1} = \vec{AA_1} + (-\vec{AA_1} + \vec{BC}) - (-\vec{AB})$

4. Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$\vec{AA_1} - \vec{AA_1} + \vec{BC} + \vec{AB} = (\vec{AA_1} - \vec{AA_1}) + (\vec{AB} + \vec{BC})$

Сумма противоположных векторов $\vec{AA_1}$ и $-\vec{AA_1}$ равна нулевому вектору, поэтому выражение упрощается до:

$\vec{AB} + \vec{BC}$

5. Применим правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Сумма этих векторов равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка A) с концом второго вектора (точка C):

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Таким образом, исходное векторное выражение равно вектору $\vec{AC}$.

Ответ: $\vec{AC}$