Страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.21. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите вектор, равный $\vec{AA_1} - \vec{DC_1} + \vec{BC}$.

Для того чтобы найти вектор, равный выражению $\vec{AA_1} - \vec{DC_1} + \vec{BC}$, мы будем использовать свойства векторов в кубе и правила действий с векторами.
Первым шагом упростим данное выражение, заменяя векторы на равные им.
1. Вектор $\vec{DC_1}$ является диагональю грани $DCC_1D_1$. По правилу сложения векторов (правилу треугольника) его можно представить в виде суммы двух векторов, идущих по рёбрам куба:
$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$
Подставим это разложение в исходное выражение:
$\vec{AA_1} - (\vec{DC} + \vec{CC_1}) + \vec{BC} = \vec{AA_1} - \vec{DC} - \vec{CC_1} + \vec{BC}$
2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все боковые рёбра параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие этим рёбрам и имеющие одинаковое направление, равны. В частности:
$\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$
Заменим в нашем выражении вектор $\vec{CC_1}$ на равный ему вектор $\vec{AA_1}$:
$\vec{AA_1} - \vec{DC} - \vec{AA_1} + \vec{BC}$
3. Теперь мы можем сократить векторы $\vec{AA_1}$ и $-\vec{AA_1}$:
$(\vec{AA_1} - \vec{AA_1}) - \vec{DC} + \vec{BC} = \vec{0} - \vec{DC} + \vec{BC} = -\vec{DC} + \vec{BC}$
4. Вектор $-\vec{DC}$ является противоположным вектору $\vec{DC}$, то есть он имеет ту же длину, но направлен в противоположную сторону. Таким образом:
$-\vec{DC} = \vec{CD}$
Выражение принимает вид:
$\vec{CD} + \vec{BC}$
5. Используем правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов. Для этого поменяем слагаемые местами:
$\vec{BC} + \vec{CD}$
Сумма этих двух векторов — это вектор, который начинается в начальной точке первого вектора (B) и заканчивается в конечной точке второго вектора (D).
$\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$
Таким образом, искомый вектор равен $\vec{BD}$.
Ответ: $\vec{BD}$

3.22. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что $\vec{OA} + \vec{OC_1} = \vec{OA_1} + \vec{OC}$, где $O$ — произвольная точка пространства.

Для доказательства равенства $\vec{OA} + \vec{OC_1} = \vec{OA_1} + \vec{OC}$ выполним его эквивалентное преобразование. Перенесем вектор $\vec{OC}$ из правой части в левую, а вектор $\vec{OA}$ из левой части в правую:

$\vec{OC_1} - \vec{OC} = \vec{OA_1} - \vec{OA}$

Воспользуемся правилом вычитания векторов: для любых трех точек $P, Q, R$ справедливо равенство $\vec{QR} = \vec{OR} - \vec{OQ}$. Применим это правило к обеим частям нашего равенства:

В левой части: $\vec{OC_1} - \vec{OC} = \vec{CC_1}$

В правой части: $\vec{OA_1} - \vec{OA} = \vec{AA_1}$

Таким образом, исходное равенство равносильно следующему равенству:

$\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$

Это равенство является верным по определению параллелепипеда. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковые ребра $AA_1$ и $CC_1$ параллельны, равны по длине и одинаково направлены. Следовательно, векторы, соответствующие этим ребрам, равны.

Поскольку исходное равенство путем тождественных преобразований приведено к верному равенству, оно также является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3.23. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что $|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|$.

Для доказательства данного равенства можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Геометрический

Рассмотрим левую и правую части равенства с точки зрения геометрии векторов. Это равенство можно интерпретировать как равенство длин диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Сумма векторов $|\vec{AC} + \vec{AA_1}|$

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{AA_1}$ равен вектору $\vec{CC_1}$. Заменим $\vec{AA_1}$ на $\vec{CC_1}$ в сумме:

$\vec{AC} + \vec{AA_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

По правилу треугольника (сложение векторов "конец к началу"), сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$ равна вектору $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{AC_1}$

Следовательно, левая часть исходного равенства представляет собой длину вектора $\vec{AC_1}$, который является пространственной диагональю параллелепипеда: $|\vec{AC_1}|$.

2. Разность векторов $|\vec{AC} - \vec{AA_1}|$

Разность векторов $\vec{u} - \vec{v}$ — это вектор, идущий из конца вектора $\vec{v}$ в конец вектора $\vec{u}$, если они отложены от одной точки. Отложим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$ от точки $A$. Тогда вектор разности $\vec{AC} - \vec{AA_1}$ — это вектор, соединяющий их концы, а именно, идущий от точки $A_1$ к точке $C$. То есть:

$\vec{AC} - \vec{AA_1} = \vec{A_1C}$

Следовательно, правая часть исходного равенства представляет собой длину вектора $\vec{A_1C}$, который также является пространственной диагональю параллелепипеда: $|\vec{A_1C}|$.

3. Сравнение длин диагоналей

В прямоугольном параллелепипеде все четыре пространственные диагонали ($AC_1, BD_1, A_1C, B_1D$) равны по длине. Пусть стороны параллелепипеда равны $a, b, c$. Тогда квадрат длины любой пространственной диагонали равен $a^2 + b^2 + c^2$.

Таким образом, $|\vec{AC_1}| = |\vec{A_1C}|$.

Поскольку левая часть равенства равна $|\vec{AC_1}|$, а правая — $|\vec{A_1C}|$, то исходное равенство $|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано, так как обе его части представляют собой длины равных пространственных диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Способ 2: Координатный

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.

Пусть длины ребер, выходящих из точки $A$, равны:

$|AB| = a$, $|AD| = b$, $|AA_1| = c$.

Тогда координаты вершин, необходимых для решения, будут:

$A(0, 0, 0)$, $C(a, b, 0)$, $A_1(0, 0, c)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$:

$\vec{AC} = C - A = (a-0, b-0, 0-0) = (a, b, 0)$

$\vec{AA_1} = A_1 - A = (0-0, 0-0, c-0) = (0, 0, c)$

Теперь найдем векторы суммы и разности:

$\vec{AC} + \vec{AA_1} = (a, b, 0) + (0, 0, c) = (a, b, c)$

$\vec{AC} - \vec{AA_1} = (a, b, 0) - (0, 0, c) = (a, b, -c)$

Вычислим модули (длины) этих векторов:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

$|\vec{AC} - \vec{AA_1}| = \sqrt{a^2 + b^2 + (-c)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Так как правые части выражений для длин равны, то равны и левые:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем вычисления длин векторов в координатной форме.

Способ 3: Через скалярное произведение

Чтобы доказать равенство $|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|$, докажем равенство квадратов их модулей:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}|^2 = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|^2$

Используем свойство, что квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Раскроем левую часть:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}|^2 = (\vec{AC} + \vec{AA_1}) \cdot (\vec{AC} + \vec{AA_1}) = |\vec{AC}|^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + |\vec{AA_1}|^2$

Раскроем правую часть:

$|\vec{AC} - \vec{AA_1}|^2 = (\vec{AC} - \vec{AA_1}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AA_1}) = |\vec{AC}|^2 - 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + |\vec{AA_1}|^2$

Приравняем раскрытые выражения:

$|\vec{AC}|^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + |\vec{AA_1}|^2 = |\vec{AC}|^2 - 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + |\vec{AA_1}|^2$

После сокращения одинаковых членов ($|\vec{AC}|^2$ и $|\vec{AA_1}|^2$) получаем:

$2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) = -2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1})$

$4(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) = 0$

$\vec{AC} \cdot \vec{AA_1} = 0$

Это равенство означает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$ должны быть перпендикулярны (ортогональны).

В прямоугольном параллелепипеде ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Так как вектор $\vec{AC}$ (диагональ основания) лежит в плоскости основания $ABCD$, то ребро $AA_1$ перпендикулярно вектору $\vec{AC}$.

Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AC} \cdot \vec{AA_1} = 0$.

Поскольку условие ортогональности выполняется, исходное равенство является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано, так как оно эквивалентно условию ортогональности векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$, которое выполняется в прямоугольном параллелепипеде.

3.24. Сторона основания правильной пирамиды $MABCD$ равна 2 см.

Найдите модуль вектора $\vec{m} = \vec{AM} + \vec{AD} - \vec{BM}$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{m} = \vec{AM} + \vec{AD} - \vec{BM}$ необходимо сначала упростить данное векторное выражение.

Используем свойство вычитания векторов: вычитание вектора равносильно прибавлению противоположного ему вектора. Таким образом, $-\vec{BM} = \vec{MB}$. Подставим это в исходное выражение:

$\vec{m} = \vec{AM} + \vec{AD} + \vec{MB}$

Переставим слагаемые, чтобы воспользоваться правилом сложения векторов (правилом треугольника):

$\vec{m} = (\vec{MB} + \vec{AM}) + \vec{AD}$

Сумма векторов $\vec{MB}$ и $\vec{AM}$ по правилу треугольника (или правилу Шаля) равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго. Чтобы применить правило, запишем их в другом порядке: $\vec{AM} + \vec{MB}$. Конец вектора $\vec{AM}$ (точка M) совпадает с началом вектора $\vec{MB}$ (точка M). Следовательно, их сумма равна вектору $\vec{AB}$:

$\vec{AM} + \vec{MB} = \vec{AB}$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для $\vec{m}$:

$\vec{m} = \vec{AB} + \vec{AD}$

В условии сказано, что $MABCD$ — это правильная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит правильный многоугольник. В данном случае, основание $ABCD$ — это квадрат. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ соответствуют сторонам квадрата, выходящим из одной вершины $A$.

Для нахождения суммы этих векторов применим правило параллелограмма. Сумма двух векторов, отложенных от одной точки, равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах и выходящей из той же точки. Для квадрата $ABCD$ эта диагональ — $AC$.

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Таким образом, мы получили, что $\vec{m} = \vec{AC}$.

Модуль вектора $\vec{m}$ равен его длине, то есть длине диагонали квадрата $AC$.

$|\vec{m}| = |\vec{AC}| = AC$

Сторона основания квадрата $ABCD$ по условию равна 2 см. Найдем длину диагонали $AC$, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ (в квадрате угол $B$ прямой):

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$AC = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.

3.25. Сторона основания правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 4 см.

Точка $D$ — середина ребра $AB$. Найдите модуль вектора

$\vec{a} = \overrightarrow{B_1B} - \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{A_1C}$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{a}$ сначала упростим данное векторное выражение.

$\vec{a} = \vec{B_1B} - \vec{DA} - \vec{A_1C}$

Преобразуем каждый вектор в выражении, используя свойства векторов в призме и определения:

1. Точка $D$ — середина ребра $AB$, следовательно, вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$ и равен $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Так как $\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{AB}$, то $\vec{DA} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$.
2. Для вектора $\vec{A_1C}$ используем правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{A_1C} = \vec{A_1A} + \vec{AC}$.
3. В призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$. Вектор $\vec{B_1B}$ направлен в противоположную сторону, значит, $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{AA_1}$. Также учтем, что $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1}$.

Подставим полученные выражения в исходную формулу для вектора $\vec{a}$:

$\vec{a} = (-\vec{AA_1}) - (-\frac{1}{2}\vec{AB}) - (\vec{A_1A} + \vec{AC})$

Заменим $\vec{A_1A}$ на $-\vec{AA_1}$:

$\vec{a} = -\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} - (-\vec{AA_1} + \vec{AC})$

Раскроем скобки:

$\vec{a} = -\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AA_1} - \vec{AC}$

Взаимно уничтожим векторы $-\vec{AA_1}$ и $\vec{AA_1}$:

$\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}$

Так как $D$ — середина $AB$, то $\frac{1}{2}\vec{AB} = \vec{AD}$. Подставим это в наше упрощенное выражение:

$\vec{a} = \vec{AD} - \vec{AC}$

По правилу вычитания векторов, разность $\vec{AD} - \vec{AC}$ равна вектору $\vec{CD}$.

Таким образом, $\vec{a} = \vec{CD}$.

Теперь задача сводится к нахождению длины отрезка $CD$. Модуль вектора $|\vec{a}|$ будет равен длине этого отрезка.

В основании правильной призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$. Сторона основания равна 4 см. Отрезок $CD$ является медианой в треугольнике $ABC$, проведенной из вершины $C$ к стороне $AB$.

В равностороннем треугольнике медиана также является высотой и биссектрисой. Следовательно, $CD \perp AB$, и треугольник $ADC$ является прямоугольным.

В треугольнике $ADC$:

• Гипотенуза $AC = 4$ см (сторона основания).
• Катет $AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

По теореме Пифагора найдем длину катета $CD$:

$CD^2 = AC^2 - AD^2$

$CD^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$

$CD = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Следовательно, модуль вектора $\vec{a}$ равен:

$|\vec{a}| = |\vec{CD}| = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

3.26. Найдите координаты точки $A$ такой, что $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{0}$, если $B(4; -2; 12)$, $C(3; -1; 4)$.

Пусть искомая точка $A$ имеет координаты $(x_A; y_A; z_A)$. Координаты вектора, например $\vec{PQ}$, находятся путем вычитания координат начальной точки $P(x_P; y_P; z_P)$ из координат конечной точки $Q(x_Q; y_Q; z_Q)$: $\vec{PQ} = (x_Q - x_P; y_Q - y_P; z_Q - z_P)$.

Даны координаты точек $B(4; -2; 12)$ и $C(3; -1; 4)$.

Выразим координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ через координаты точек $A$, $B$ и $C$:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4 - x_A; -2 - y_A; 12 - z_A)$
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (3 - x_A; -1 - y_A; 4 - z_A)$

Теперь найдем сумму этих векторов, сложив их соответствующие координаты:
$\vec{AB} + \vec{AC} = ((4 - x_A) + (3 - x_A); (-2 - y_A) + (-1 - y_A); (12 - z_A) + (4 - z_A))$
$\vec{AB} + \vec{AC} = (7 - 2x_A; -3 - 2y_A; 16 - 2z_A)$

Согласно условию задачи, сумма векторов равна нулевому вектору $\vec{0}$, который имеет координаты $(0; 0; 0)$.
$(7 - 2x_A; -3 - 2y_A; 16 - 2z_A) = (0; 0; 0)$

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Это дает нам систему из трех уравнений:
$ \begin{cases} 7 - 2x_A = 0 \\ -3 - 2y_A = 0 \\ 16 - 2z_A = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение относительно неизвестной координаты:
1) $7 - 2x_A = 0 \Rightarrow 2x_A = 7 \Rightarrow x_A = \frac{7}{2} = 3.5$
2) $-3 - 2y_A = 0 \Rightarrow 2y_A = -3 \Rightarrow y_A = -\frac{3}{2} = -1.5$
3) $16 - 2z_A = 0 \Rightarrow 2z_A = 16 \Rightarrow z_A = \frac{16}{2} = 8$

Таким образом, координаты точки $A$ равны $(3.5; -1.5; 8)$.
Стоит отметить, что равенство $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{0}$ геометрически означает, что точка $A$ является серединой отрезка $BC$.

Ответ: $A(3.5; -1.5; 8)$

3.27 Найдите координаты точки M такой, что $\vec{CM} - \vec{MD} = \vec{0}$, если C (1; -5; 3), D (-2; 0; 6).

По условию задачи дано векторное равенство $\vec{CM} - \vec{MD} = \vec{0}$.

Перепишем это равенство, перенеся вектор $\vec{MD}$ в правую часть уравнения:

$\vec{CM} = \vec{MD}$

Равенство векторов $\vec{CM}$ и $\vec{MD}$ означает, что они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Геометрически это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $CD$.

Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Обозначим искомые координаты точки $M$ как $(x_M; y_M; z_M)$. Используя координаты точек $C(1; -5; 3)$ и $D(-2; 0; 6)$, найдем координаты точки $M$ по формулам:

$x_M = \frac{x_C + x_D}{2}$

$y_M = \frac{y_C + y_D}{2}$

$z_M = \frac{z_C + z_D}{2}$

Подставим числовые значения:

$x_M = \frac{1 + (-2)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$

$y_M = \frac{-5 + 0}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5$

$z_M = \frac{3 + 6}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Таким образом, координаты точки $M$ равны $(-0.5; -2.5; 4.5)$.

Ответ: $M(-0.5; -2.5; 4.5)$.

3.28. Даны треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Докажите, что

$\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1}$.

Для доказательства данного векторного равенства преобразуем его правую часть, используя правило сложения векторов (правило треугольника). Правило треугольника гласит, что для любых трех точек X, Y, Z справедливо равенство $\vec{XZ} = \vec{XY} + \vec{YZ}$.

Рассмотрим правую часть исходного равенства:

$\vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CA_1}$

Применим правило треугольника к каждому вектору, чтобы разложить его на сумму двух векторов. Выберем разложение таким образом, чтобы появились векторы, присутствующие в левой части равенства.

1. Для вектора $\vec{AB_1}$ используем точку B в качестве промежуточной:$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

2. Для вектора $\vec{BC_1}$ используем точку C в качестве промежуточной:$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

3. Для вектора $\vec{CA_1}$ используем точку A в качестве промежуточной:$\vec{CA_1} = \vec{CA} + \vec{AA_1}$

Теперь подставим полученные выражения обратно в правую часть равенства:

$\vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CA_1} = (\vec{AB} + \vec{BB_1}) + (\vec{BC} + \vec{CC_1}) + (\vec{CA} + \vec{AA_1})$

Сгруппируем слагаемые, отделив векторы, образующие стороны треугольника ABC, от остальных векторов:

$(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) + (\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1})$

Сумма векторов, образующих замкнутый контур (в данном случае, стороны треугольника ABC), всегда равна нулевому вектору:

$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$

Следовательно, выражение для правой части упрощается:

$\vec{0} + (\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1}) = \vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1}$

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного равенства. Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CA_1}$ является верным, так как правая часть тождественно преобразуется в левую с помощью правила сложения векторов.

3.29. Даны четырёхугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Докажите, что

$\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}.$

Для доказательства данного векторного равенства преобразуем его правую часть, используя правило треугольника (также известное как правило Шаля) для сложения векторов. Согласно этому правилу, для любых трёх точек X, Y, Z справедливо равенство $\overrightarrow{XZ} = \overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ}$.

Правая часть доказываемого равенства имеет вид: $\overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}$.

Представим каждый вектор в этой сумме как сумму двух векторов, вводя промежуточную точку в соответствии с правилом треугольника:

$\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1}$
$\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}$
$\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DD_1}$
$\overrightarrow{DA_1} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AA_1}$

Теперь подставим эти выражения обратно в правую часть исходного равенства:

$\overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1}) + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DD_1}) + (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AA_1})$

Перегруппируем слагаемые в полученном выражении, объединив векторы, соединяющие соответственные вершины четырёхугольников, и векторы, являющиеся сторонами четырёхугольника $ABCD$:

$(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1}) + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA})$

Рассмотрим сумму векторов, образующих замкнутый контур четырёхугольника $ABCD$: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$. По правилу многоугольника для сложения векторов, эта сумма равна нулевому вектору. Покажем это последовательным сложением:

$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}) + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$.

Таким образом, правая часть исходного равенства преобразуется к виду:

$(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1}) + \vec{0} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1}$

Мы получили выражение, которое в точности совпадает с левой частью исходного равенства. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Тождество $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}$ доказано.

3.30. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Выразите вектор $\vec{AA_1}$ через векторы $\vec{B_1 A}$, $\vec{B_1 C}$ и $\vec{B_1 D}$.

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения векторов и свойствами параллелепипеда. Наша цель — выразить вектор $\vec{AA_1}$ через линейную комбинацию векторов $\vec{B_1A}$, $\vec{B_1C}$ и $\vec{B_1D}$.

По определению параллелепипеда, векторы, соответствующие параллельным ребрам, равны. В частности, $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Отсюда следует, что векторы, направленные в противоположную сторону, также равны между собой: $\vec{A_1A} = \vec{B_1B} = \vec{C_1C} = \vec{D_1D} = -\vec{AA_1}$.

Выразим данные векторы, исходящие из точки $B_1$, через векторы ребер и диагоналей граней, используя правило треугольника (или правило многоугольника) для сложения векторов:

1. Вектор $\vec{B_1A}$ можно представить как сумму векторов $\vec{B_1A_1}$ и $\vec{A_1A}$:

$\vec{B_1A} = \vec{B_1A_1} + \vec{A_1A}$

2. Вектор $\vec{B_1C}$ можно представить как сумму векторов $\vec{B_1C_1}$ и $\vec{C_1C}$:

$\vec{B_1C} = \vec{B_1C_1} + \vec{C_1C}$

3. Вектор $\vec{B_1D}$ можно представить как сумму векторов $\vec{B_1D_1}$ и $\vec{D_1D}$:

$\vec{B_1D} = \vec{B_1D_1} + \vec{D_1D}$

Так как $\vec{A_1A} = \vec{C_1C} = \vec{D_1D}$, для удобства обозначим этот вектор как $\vec{k}$. Искомый вектор $\vec{AA_1} = -\vec{k}$. Перепишем равенства:

$\vec{B_1A} = \vec{B_1A_1} + \vec{k}$ (1)

$\vec{B_1C} = \vec{B_1C_1} + \vec{k}$ (2)

$\vec{B_1D} = \vec{B_1D_1} + \vec{k}$ (3)

Верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом. По правилу параллелограмма для сложения векторов, сумма векторов, исходящих из одной вершины и идущих по сторонам, равна вектору диагонали, исходящему из той же вершины. Для вершины $B_1$ это означает:

$\vec{B_1A_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{B_1D_1}$

Теперь рассмотрим комбинацию векторов $\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D}$. Подставим в нее выражения (1), (2) и (3):

$\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D} = (\vec{B_1A_1} + \vec{k}) + (\vec{B_1C_1} + \vec{k}) - (\vec{B_1D_1} + \vec{k})$

Сгруппируем слагаемые:

$\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D} = (\vec{B_1A_1} + \vec{B_1C_1} - \vec{B_1D_1}) + (\vec{k} + \vec{k} - \vec{k})$

$\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D} = (\vec{B_1A_1} + \vec{B_1C_1} - \vec{B_1D_1}) + \vec{k}$

Используя правило параллелограмма $\vec{B_1A_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{B_1D_1}$, выражение в скобках становится равным нулевому вектору:

$\vec{B_1A_1} + \vec{B_1C_1} - \vec{B_1D_1} = \vec{0}$

Следовательно, получаем:

$\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D} = \vec{k}$

Мы искали вектор $\vec{AA_1}$, который равен $-\vec{k}$. Таким образом:

$\vec{AA_1} = -(\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D})$

$\vec{AA_1} = -\vec{B_1A} - \vec{B_1C} + \vec{B_1D}$

Ответ: $\vec{AA_1} = \vec{B_1D} - \vec{B_1A} - \vec{B_1C}$.

3.31. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Выразите вектор $\overrightarrow{AD_1}$ через векторы $\overrightarrow{AA_1}$, $\overrightarrow{AB_1}$ и $\overrightarrow{AC_1}$.

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения векторов и свойствами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Представим искомый вектор $\overrightarrow{AD_1}$, являющийся диагональю грани $AA_1D_1D$, по правилу сложения векторов:

$\overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1D_1}$

По определению параллелепипеда, противоположные грани параллельны и равны, поэтому вектор $\overrightarrow{A_1D_1}$ равен вектору $\overrightarrow{AD}$. Заменим это в выражении:

$\overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{AD}$ (1)

Теперь необходимо выразить вектор $\overrightarrow{AD}$ через заданные векторы $\overrightarrow{AA_1}, \overrightarrow{AB_1}$ и $\overrightarrow{AC_1}$.

Рассмотрим диагональ параллелепипеда $\overrightarrow{AC_1}$. По правилу параллелепипеда для векторов, отложенных от одной вершины, имеем:

$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$

Рассмотрим также диагональ грани $AA_1B_1B$, вектор $\overrightarrow{AB_1}$. По правилу параллелограмма:

$\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1}$

Сравним выражения для $\overrightarrow{AC_1}$ и $\overrightarrow{AB_1}$. Можно заметить, что вектор $\overrightarrow{AC_1}$ можно представить как сумму векторов $\overrightarrow{AB_1}$ и $\overrightarrow{AD}$:

$\overrightarrow{AC_1} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA_1}) + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{AD}$

Из последнего равенства выразим вектор $\overrightarrow{AD}$:

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC_1} - \overrightarrow{AB_1}$

Наконец, подставим полученное выражение для $\overrightarrow{AD}$ в равенство (1):

$\overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AA_1} + (\overrightarrow{AC_1} - \overrightarrow{AB_1})$

Раскрыв скобки и переставив слагаемые, получим итоговое выражение:

$\overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{AC_1}$

Ответ: $\overrightarrow{AD_1} = \overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{AC_1}$

3.32. Даны векторы $\vec{a}$ (2; -1; 4), $\vec{b}$ (0; -3; 6) и $\vec{c}$ (1; y; 5). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ и при каком значении $y$?

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ и при каком значении $y$?

Для решения задачи сначала найдем координаты результирующего вектора, который обозначим как $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Даны векторы: $\vec{a}(2; -1; 4)$, $\vec{b}(0; -3; 6)$, $\vec{c}(1; y; 5)$.

Координаты вектора $\vec{d}$ вычисляются путем выполнения соответствующих операций над координатами исходных векторов:

$d_x = a_x + b_x - c_x = 2 + 0 - 1 = 1$

$d_y = a_y + b_y - c_y = -1 + (-3) - y = -4 - y$

$d_z = a_z + b_z - c_z = 4 + 6 - 5 = 5$

Таким образом, вектор $\vec{d}$ имеет координаты $(1; -4 - y; 5)$.

Далее найдем модуль (длину) вектора $\vec{d}$. Модуль вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{d}$ в эту формулу:

$|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + (-4 - y)^2 + 5^2}$

Упростим выражение под корнем:

$|\vec{d}| = \sqrt{1 + (-(4 + y))^2 + 25} = \sqrt{1 + (4 + y)^2 + 25} = \sqrt{26 + (4 + y)^2}$

Чтобы найти наименьшее значение модуля, нужно найти наименьшее значение подкоренного выражения $26 + (4 + y)^2$.

Выражение $(4 + y)^2$, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(4 + y)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0.

Это наименьшее значение достигается при условии, что основание степени равно нулю:

$4 + y = 0$

$y = -4$

При $y = -4$ подкоренное выражение принимает свое минимальное значение: $26 + (4 + (-4))^2 = 26 + 0^2 = 26$.

Следовательно, наименьшее значение модуля вектора равно:

$|\vec{d}|_{min} = \sqrt{26}$

Ответ: наименьшее значение модуля вектора равно $\sqrt{26}$ при $y = -4$.

3.33. Даны векторы $\vec{m}$ (6; -2; z), $\vec{n}$ (x; 1; 2) и $\vec{k}$ (3; -4; -7). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$ и при каких значениях x и z?

Для решения задачи введем новый вектор $\vec{p}$, который представляет собой результат операций над данными векторами: $\vec{p} = \vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{p}$, выполнив соответствующие действия над координатами векторов $\vec{m}(6; -2; z)$, $\vec{n}(x; 1; 2)$ и $\vec{k}(3; -4; -7)$:
$p_x = m_x - n_x - k_x = 6 - x - 3 = 3 - x$
$p_y = m_y - n_y - k_y = -2 - 1 - (-4) = -3 + 4 = 1$
$p_z = m_z - n_z - k_z = z - 2 - (-7) = z + 5$
Таким образом, вектор $\vec{p}$ имеет координаты $(3 - x; 1; z + 5)$.

Модуль вектора $\vec{p}$ (обозначается как $|\vec{p}|$) вычисляется по формуле:
$|\vec{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$
Подставив найденные координаты, получим выражение для модуля вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$:
$|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}| = \sqrt{(3 - x)^2 + 1^2 + (z + 5)^2} = \sqrt{(3 - x)^2 + 1 + (z + 5)^2}$

Чтобы найти наименьшее значение модуля, необходимо минимизировать подкоренное выражение, так как функция квадратного корня является возрастающей. Обозначим подкоренное выражение $f(x, z) = (3 - x)^2 + 1 + (z + 5)^2$.

Это выражение состоит из трех слагаемых. Слагаемые $(3 - x)^2$ и $(z + 5)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их наименьшее возможное значение равно 0.

• Выражение $(3 - x)^2$ достигает своего минимума (0) при условии $3 - x = 0$, то есть при $x = 3$.
• Выражение $(z + 5)^2$ достигает своего минимума (0) при условии $z + 5 = 0$, то есть при $z = -5$.

Третье слагаемое — это константа 1.

Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения $f(x, z)$ достигается при $x = 3$ и $z = -5$:
$f_{min} = (3 - 3)^2 + 1 + (-5 + 5)^2 = 0^2 + 1 + 0^2 = 1$

Наименьшее значение модуля вектора равно квадратному корню из этого минимального значения:
$|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}|_{min} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: Наименьшее значение модуля вектора равно 1, оно достигается при $x = 3$ и $z = -5$.

3.34. Докажите, что для любых чисел $a, b, c, a_1, b_1$ и $c_1$ выполняется неравенство

$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \ge \sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}$.

Данное неравенство представляет собой неравенство треугольника для векторов в трехмерном евклидовом пространстве, также известное как неравенство Минковского для $p=2$.

Для доказательства рассмотрим два вектора в трехмерной декартовой системе координат: $\vec{v} = (a, b, c)$ и $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$.

Тогда левая часть неравенства представляет собой сумму длин (модулей) этих векторов:

$\sqrt{a^2+b^2+c^2} = |\vec{v}|$

$\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} = |\vec{u}|$

Сумма векторов $\vec{v}$ и $\vec{u}$ есть вектор $\vec{v} + \vec{u} = (a+a_1, b+b_1, c+c_1)$.

Правая часть неравенства — это длина вектора-суммы:

$\sqrt{(a+a_1)^2+(b+b_1)^2+(c+c_1)^2} = |\vec{v}+\vec{u}|$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в векторной форме:

$|\vec{v}| + |\vec{u}| \geq |\vec{v}+\vec{u}|$

Это неравенство является фундаментальным свойством векторов и геометрически означает, что длина стороны треугольника, образованного векторами $\vec{v}$, $\vec{u}$ и их суммой $\vec{v}+\vec{u}$, не может превышать сумму длин двух других сторон. Для формального доказательства приведем его алгебраическое обоснование.

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sqrt{a^2+b^2+c^2} + \sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2})^2 \geq \left(\sqrt{(a+a_1)^2+(b+b_1)^2+(c+c_1)^2}\right)^2$

Раскроем скобки в левой части:

$(a^2+b^2+c^2) + 2\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)} + (a_1^2+b_1^2+c_1^2)$

Раскроем скобки в правой части:

$(a+a_1)^2+(b+b_1)^2+(c+c_1)^2 = (a^2+2aa_1+a_1^2) + (b^2+2bb_1+b_1^2) + (c^2+2cc_1+c_1^2)$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$(a^2+b^2+c^2) + (a_1^2+b_1^2+c_1^2) + 2(aa_1+bb_1+cc_1)$

Сократив одинаковые слагаемые $(a^2+b^2+c^2)$ и $(a_1^2+b_1^2+c_1^2)$ в обеих частях неравенства, получим:

$2\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)} \geq 2(aa_1+bb_1+cc_1)$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)} \geq aa_1+bb_1+cc_1$

Данное неравенство следует из неравенства Коши-Буняковского-Шварца, которое для скалярного произведения векторов $\vec{v}$ и $\vec{u}$ имеет вид: $(\vec{v} \cdot \vec{u})^2 \leq |\vec{v}|^2 |\vec{u}|^2$.

В координатной форме:

$(aa_1+bb_1+cc_1)^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|aa_1+bb_1+cc_1| \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)}$

Поскольку для любого действительного числа $X$ справедливо $X \leq |X|$, то:

$aa_1+bb_1+cc_1 \leq |aa_1+bb_1+cc_1| \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)}$

Таким образом, мы доказали неравенство, к которому свелось исходное. Следовательно, исходное неравенство также верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.