Номер 3.25, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.25. Сторона основания правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 4 см.

Точка $D$ — середина ребра $AB$. Найдите модуль вектора

$\vec{a} = \overrightarrow{B_1B} - \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{A_1C}$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{a}$ сначала упростим данное векторное выражение.

$\vec{a} = \vec{B_1B} - \vec{DA} - \vec{A_1C}$

Преобразуем каждый вектор в выражении, используя свойства векторов в призме и определения:

1. Точка $D$ — середина ребра $AB$, следовательно, вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$ и равен $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Так как $\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{AB}$, то $\vec{DA} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$.
2. Для вектора $\vec{A_1C}$ используем правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{A_1C} = \vec{A_1A} + \vec{AC}$.
3. В призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$. Вектор $\vec{B_1B}$ направлен в противоположную сторону, значит, $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{AA_1}$. Также учтем, что $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1}$.

Подставим полученные выражения в исходную формулу для вектора $\vec{a}$:

$\vec{a} = (-\vec{AA_1}) - (-\frac{1}{2}\vec{AB}) - (\vec{A_1A} + \vec{AC})$

Заменим $\vec{A_1A}$ на $-\vec{AA_1}$:

$\vec{a} = -\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} - (-\vec{AA_1} + \vec{AC})$

Раскроем скобки:

$\vec{a} = -\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AA_1} - \vec{AC}$

Взаимно уничтожим векторы $-\vec{AA_1}$ и $\vec{AA_1}$:

$\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{AB} - \vec{AC}$

Так как $D$ — середина $AB$, то $\frac{1}{2}\vec{AB} = \vec{AD}$. Подставим это в наше упрощенное выражение:

$\vec{a} = \vec{AD} - \vec{AC}$

По правилу вычитания векторов, разность $\vec{AD} - \vec{AC}$ равна вектору $\vec{CD}$.

Таким образом, $\vec{a} = \vec{CD}$.

Теперь задача сводится к нахождению длины отрезка $CD$. Модуль вектора $|\vec{a}|$ будет равен длине этого отрезка.

В основании правильной призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$. Сторона основания равна 4 см. Отрезок $CD$ является медианой в треугольнике $ABC$, проведенной из вершины $C$ к стороне $AB$.

В равностороннем треугольнике медиана также является высотой и биссектрисой. Следовательно, $CD \perp AB$, и треугольник $ADC$ является прямоугольным.

В треугольнике $ADC$:

• Гипотенуза $AC = 4$ см (сторона основания).
• Катет $AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

По теореме Пифагора найдем длину катета $CD$:

$CD^2 = AC^2 - AD^2$

$CD^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$

$CD = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Следовательно, модуль вектора $\vec{a}$ равен:

$|\vec{a}| = |\vec{CD}| = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.