Номер 3.23, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.23. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что $|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|$.

Для доказательства данного равенства можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Геометрический

Рассмотрим левую и правую части равенства с точки зрения геометрии векторов. Это равенство можно интерпретировать как равенство длин диагоналей параллелограмма, построенного на векторах $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Сумма векторов $|\vec{AC} + \vec{AA_1}|$

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{AA_1}$ равен вектору $\vec{CC_1}$. Заменим $\vec{AA_1}$ на $\vec{CC_1}$ в сумме:

$\vec{AC} + \vec{AA_1} = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

По правилу треугольника (сложение векторов "конец к началу"), сумма векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CC_1}$ равна вектору $\vec{AC_1}$:

$\vec{AC} + \vec{CC_1} = \vec{AC_1}$

Следовательно, левая часть исходного равенства представляет собой длину вектора $\vec{AC_1}$, который является пространственной диагональю параллелепипеда: $|\vec{AC_1}|$.

2. Разность векторов $|\vec{AC} - \vec{AA_1}|$

Разность векторов $\vec{u} - \vec{v}$ — это вектор, идущий из конца вектора $\vec{v}$ в конец вектора $\vec{u}$, если они отложены от одной точки. Отложим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$ от точки $A$. Тогда вектор разности $\vec{AC} - \vec{AA_1}$ — это вектор, соединяющий их концы, а именно, идущий от точки $A_1$ к точке $C$. То есть:

$\vec{AC} - \vec{AA_1} = \vec{A_1C}$

Следовательно, правая часть исходного равенства представляет собой длину вектора $\vec{A_1C}$, который также является пространственной диагональю параллелепипеда: $|\vec{A_1C}|$.

3. Сравнение длин диагоналей

В прямоугольном параллелепипеде все четыре пространственные диагонали ($AC_1, BD_1, A_1C, B_1D$) равны по длине. Пусть стороны параллелепипеда равны $a, b, c$. Тогда квадрат длины любой пространственной диагонали равен $a^2 + b^2 + c^2$.

Таким образом, $|\vec{AC_1}| = |\vec{A_1C}|$.

Поскольку левая часть равенства равна $|\vec{AC_1}|$, а правая — $|\vec{A_1C}|$, то исходное равенство $|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|$ верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано, так как обе его части представляют собой длины равных пространственных диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Способ 2: Координатный

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ — вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$.

Пусть длины ребер, выходящих из точки $A$, равны:

$|AB| = a$, $|AD| = b$, $|AA_1| = c$.

Тогда координаты вершин, необходимых для решения, будут:

$A(0, 0, 0)$, $C(a, b, 0)$, $A_1(0, 0, c)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$:

$\vec{AC} = C - A = (a-0, b-0, 0-0) = (a, b, 0)$

$\vec{AA_1} = A_1 - A = (0-0, 0-0, c-0) = (0, 0, c)$

Теперь найдем векторы суммы и разности:

$\vec{AC} + \vec{AA_1} = (a, b, 0) + (0, 0, c) = (a, b, c)$

$\vec{AC} - \vec{AA_1} = (a, b, 0) - (0, 0, c) = (a, b, -c)$

Вычислим модули (длины) этих векторов:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

$|\vec{AC} - \vec{AA_1}| = \sqrt{a^2 + b^2 + (-c)^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Так как правые части выражений для длин равны, то равны и левые:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано путем вычисления длин векторов в координатной форме.

Способ 3: Через скалярное произведение

Чтобы доказать равенство $|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|$, докажем равенство квадратов их модулей:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}|^2 = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|^2$

Используем свойство, что квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

Раскроем левую часть:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}|^2 = (\vec{AC} + \vec{AA_1}) \cdot (\vec{AC} + \vec{AA_1}) = |\vec{AC}|^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + |\vec{AA_1}|^2$

Раскроем правую часть:

$|\vec{AC} - \vec{AA_1}|^2 = (\vec{AC} - \vec{AA_1}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AA_1}) = |\vec{AC}|^2 - 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + |\vec{AA_1}|^2$

Приравняем раскрытые выражения:

$|\vec{AC}|^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + |\vec{AA_1}|^2 = |\vec{AC}|^2 - 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + |\vec{AA_1}|^2$

После сокращения одинаковых членов ($|\vec{AC}|^2$ и $|\vec{AA_1}|^2$) получаем:

$2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) = -2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1})$

$4(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) = 0$

$\vec{AC} \cdot \vec{AA_1} = 0$

Это равенство означает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$ должны быть перпендикулярны (ортогональны).

В прямоугольном параллелепипеде ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Так как вектор $\vec{AC}$ (диагональ основания) лежит в плоскости основания $ABCD$, то ребро $AA_1$ перпендикулярно вектору $\vec{AC}$.

Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AC} \cdot \vec{AA_1} = 0$.

Поскольку условие ортогональности выполняется, исходное равенство является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано, так как оно эквивалентно условию ортогональности векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$, которое выполняется в прямоугольном параллелепипеде.