Номер 3.18, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.18. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите сумму $\vec{A_1 A} + \vec{B_1 C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$.

Для того чтобы найти сумму векторов $\vec{A_1A} + \vec{B_1C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$, воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и правилами сложения векторов.

Запишем исходное выражение:

$S = \vec{A_1A} + \vec{B_1C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным и равным по длине ребрам, равны. Используем следующие равенства:

1. Векторы боковых ребер равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Отсюда следует, что $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1}$.

2. Векторы противоположных сторон оснований равны: $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$.

Подставим эти равенства в исходное выражение:

$S = (-\vec{AA_1}) + \vec{BC} + \vec{BC} + \vec{AA_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

Сгруппируем и упростим слагаемые:

$S = (\vec{AA_1} - \vec{AA_1}) + (\vec{BC} + \vec{BC}) + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

$S = \vec{0} + 2\vec{BC} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

$S = 2\vec{BC} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$

Теперь разложим вектор $\vec{CB_1}$ по правилу треугольника (правило Шаля):

$\vec{CB_1} = \vec{CB} + \vec{BB_1}$

Так как $\vec{CB} = -\vec{BC}$, получаем:

$\vec{CB_1} = -\vec{BC} + \vec{BB_1}$

Подставим это выражение в нашу сумму:

$S = 2\vec{BC} + \vec{AB} + (-\vec{BC} + \vec{BB_1})$

$S = 2\vec{BC} - \vec{BC} + \vec{AB} + \vec{BB_1}$

$S = \vec{BC} + \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Поменяем местами слагаемые для удобства применения правила треугольника:

$S = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{BB_1}$

Сумма векторов $\vec{AB} + \vec{BC}$ по правилу треугольника равна вектору $\vec{AC}$:

$S = (\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{BB_1} = \vec{AC} + \vec{BB_1}$

Чтобы завершить сложение, заменим вектор $\vec{BB_1}$ на равный ему вектор $\vec{CC_1}$:

$S = \vec{AC} + \vec{CC_1}$

Вновь применяя правило треугольника, получаем окончательный результат:

$S = \vec{AC_1}$

Ответ: $\vec{AC_1}$