Номер 3.20, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.20. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите вектор, равный $\vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{C_1D_1}$.

Для нахождения вектора, равного выражению $\vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{C_1D_1}$, воспользуемся свойствами векторов в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и правилами действий с векторами. Преобразуем векторы $\vec{B_1C}$ и $\vec{C_1D_1}$ так, чтобы их можно было легко сложить с $\vec{AA_1}$.

1. Рассмотрим вектор $\vec{B_1C}$. Он является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. По правилу треугольника для сложения векторов, мы можем разложить его на сумму векторов, идущих по ребрам куба:

$\vec{B_1C} = \vec{B_1B} + \vec{BC}$

В кубе все боковые ребра параллельны и равны по длине, поэтому соответствующие векторы равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$. Отсюда следует, что вектор $\vec{B_1B}$ является противоположным вектору $\vec{BB_1}$, то есть $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{AA_1}$.

Подставим это в выражение для $\vec{B_1C}$:

$\vec{B_1C} = -\vec{AA_1} + \vec{BC}$

2. Рассмотрим вектор $\vec{C_1D_1}$. Он является ребром верхней грани куба. В кубе ребро $D_1C_1$ параллельно, равно по длине и сонаправлено с ребром $AB$ нижнего основания. Следовательно, $\vec{D_1C_1} = \vec{AB}$.

Вектор $\vec{C_1D_1}$ противоположен вектору $\vec{D_1C_1}$, поэтому:

$\vec{C_1D_1} = -\vec{D_1C_1} = -\vec{AB}$

3. Теперь подставим найденные выражения для векторов $\vec{B_1C}$ и $\vec{C_1D_1}$ в исходное выражение:

$\vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{C_1D_1} = \vec{AA_1} + (-\vec{AA_1} + \vec{BC}) - (-\vec{AB})$

4. Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$\vec{AA_1} - \vec{AA_1} + \vec{BC} + \vec{AB} = (\vec{AA_1} - \vec{AA_1}) + (\vec{AB} + \vec{BC})$

Сумма противоположных векторов $\vec{AA_1}$ и $-\vec{AA_1}$ равна нулевому вектору, поэтому выражение упрощается до:

$\vec{AB} + \vec{BC}$

5. Применим правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Сумма этих векторов равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка A) с концом второго вектора (точка C):

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Таким образом, исходное векторное выражение равно вектору $\vec{AC}$.

Ответ: $\vec{AC}$