Номер 3.21, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.21. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите вектор, равный $\vec{AA_1} - \vec{DC_1} + \vec{BC}$.

Для того чтобы найти вектор, равный выражению $\vec{AA_1} - \vec{DC_1} + \vec{BC}$, мы будем использовать свойства векторов в кубе и правила действий с векторами.
Первым шагом упростим данное выражение, заменяя векторы на равные им.
1. Вектор $\vec{DC_1}$ является диагональю грани $DCC_1D_1$. По правилу сложения векторов (правилу треугольника) его можно представить в виде суммы двух векторов, идущих по рёбрам куба:
$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$
Подставим это разложение в исходное выражение:
$\vec{AA_1} - (\vec{DC} + \vec{CC_1}) + \vec{BC} = \vec{AA_1} - \vec{DC} - \vec{CC_1} + \vec{BC}$
2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все боковые рёбра параллельны и равны. Следовательно, векторы, соответствующие этим рёбрам и имеющие одинаковое направление, равны. В частности:
$\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$
Заменим в нашем выражении вектор $\vec{CC_1}$ на равный ему вектор $\vec{AA_1}$:
$\vec{AA_1} - \vec{DC} - \vec{AA_1} + \vec{BC}$
3. Теперь мы можем сократить векторы $\vec{AA_1}$ и $-\vec{AA_1}$:
$(\vec{AA_1} - \vec{AA_1}) - \vec{DC} + \vec{BC} = \vec{0} - \vec{DC} + \vec{BC} = -\vec{DC} + \vec{BC}$
4. Вектор $-\vec{DC}$ является противоположным вектору $\vec{DC}$, то есть он имеет ту же длину, но направлен в противоположную сторону. Таким образом:
$-\vec{DC} = \vec{CD}$
Выражение принимает вид:
$\vec{CD} + \vec{BC}$
5. Используем правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов. Для этого поменяем слагаемые местами:
$\vec{BC} + \vec{CD}$
Сумма этих двух векторов — это вектор, который начинается в начальной точке первого вектора (B) и заканчивается в конечной точке второго вектора (D).
$\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$
Таким образом, искомый вектор равен $\vec{BD}$.
Ответ: $\vec{BD}$