Номер 3.26, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.26. Найдите координаты точки $A$ такой, что $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{0}$, если $B(4; -2; 12)$, $C(3; -1; 4)$.

Пусть искомая точка $A$ имеет координаты $(x_A; y_A; z_A)$. Координаты вектора, например $\vec{PQ}$, находятся путем вычитания координат начальной точки $P(x_P; y_P; z_P)$ из координат конечной точки $Q(x_Q; y_Q; z_Q)$: $\vec{PQ} = (x_Q - x_P; y_Q - y_P; z_Q - z_P)$.

Даны координаты точек $B(4; -2; 12)$ и $C(3; -1; 4)$.

Выразим координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ через координаты точек $A$, $B$ и $C$:
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4 - x_A; -2 - y_A; 12 - z_A)$
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (3 - x_A; -1 - y_A; 4 - z_A)$

Теперь найдем сумму этих векторов, сложив их соответствующие координаты:
$\vec{AB} + \vec{AC} = ((4 - x_A) + (3 - x_A); (-2 - y_A) + (-1 - y_A); (12 - z_A) + (4 - z_A))$
$\vec{AB} + \vec{AC} = (7 - 2x_A; -3 - 2y_A; 16 - 2z_A)$

Согласно условию задачи, сумма векторов равна нулевому вектору $\vec{0}$, который имеет координаты $(0; 0; 0)$.
$(7 - 2x_A; -3 - 2y_A; 16 - 2z_A) = (0; 0; 0)$

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Это дает нам систему из трех уравнений:
$ \begin{cases} 7 - 2x_A = 0 \\ -3 - 2y_A = 0 \\ 16 - 2z_A = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение относительно неизвестной координаты:
1) $7 - 2x_A = 0 \Rightarrow 2x_A = 7 \Rightarrow x_A = \frac{7}{2} = 3.5$
2) $-3 - 2y_A = 0 \Rightarrow 2y_A = -3 \Rightarrow y_A = -\frac{3}{2} = -1.5$
3) $16 - 2z_A = 0 \Rightarrow 2z_A = 16 \Rightarrow z_A = \frac{16}{2} = 8$

Таким образом, координаты точки $A$ равны $(3.5; -1.5; 8)$.
Стоит отметить, что равенство $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{0}$ геометрически означает, что точка $A$ является серединой отрезка $BC$.

Ответ: $A(3.5; -1.5; 8)$