Номер 3.33, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.33. Даны векторы $\vec{m}$ (6; -2; z), $\vec{n}$ (x; 1; 2) и $\vec{k}$ (3; -4; -7). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$ и при каких значениях x и z?

Для решения задачи введем новый вектор $\vec{p}$, который представляет собой результат операций над данными векторами: $\vec{p} = \vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{p}$, выполнив соответствующие действия над координатами векторов $\vec{m}(6; -2; z)$, $\vec{n}(x; 1; 2)$ и $\vec{k}(3; -4; -7)$:
$p_x = m_x - n_x - k_x = 6 - x - 3 = 3 - x$
$p_y = m_y - n_y - k_y = -2 - 1 - (-4) = -3 + 4 = 1$
$p_z = m_z - n_z - k_z = z - 2 - (-7) = z + 5$
Таким образом, вектор $\vec{p}$ имеет координаты $(3 - x; 1; z + 5)$.

Модуль вектора $\vec{p}$ (обозначается как $|\vec{p}|$) вычисляется по формуле:
$|\vec{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$
Подставив найденные координаты, получим выражение для модуля вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$:
$|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}| = \sqrt{(3 - x)^2 + 1^2 + (z + 5)^2} = \sqrt{(3 - x)^2 + 1 + (z + 5)^2}$

Чтобы найти наименьшее значение модуля, необходимо минимизировать подкоренное выражение, так как функция квадратного корня является возрастающей. Обозначим подкоренное выражение $f(x, z) = (3 - x)^2 + 1 + (z + 5)^2$.

Это выражение состоит из трех слагаемых. Слагаемые $(3 - x)^2$ и $(z + 5)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их наименьшее возможное значение равно 0.

• Выражение $(3 - x)^2$ достигает своего минимума (0) при условии $3 - x = 0$, то есть при $x = 3$.
• Выражение $(z + 5)^2$ достигает своего минимума (0) при условии $z + 5 = 0$, то есть при $z = -5$.

Третье слагаемое — это константа 1.

Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения $f(x, z)$ достигается при $x = 3$ и $z = -5$:
$f_{min} = (3 - 3)^2 + 1 + (-5 + 5)^2 = 0^2 + 1 + 0^2 = 1$

Наименьшее значение модуля вектора равно квадратному корню из этого минимального значения:
$|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}|_{min} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: Наименьшее значение модуля вектора равно 1, оно достигается при $x = 3$ и $z = -5$.