Номер 3.32, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.32. Даны векторы $\vec{a}$ (2; -1; 4), $\vec{b}$ (0; -3; 6) и $\vec{c}$ (1; y; 5). Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ и при каком значении $y$?

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ и при каком значении $y$?

Для решения задачи сначала найдем координаты результирующего вектора, который обозначим как $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Даны векторы: $\vec{a}(2; -1; 4)$, $\vec{b}(0; -3; 6)$, $\vec{c}(1; y; 5)$.

Координаты вектора $\vec{d}$ вычисляются путем выполнения соответствующих операций над координатами исходных векторов:

$d_x = a_x + b_x - c_x = 2 + 0 - 1 = 1$

$d_y = a_y + b_y - c_y = -1 + (-3) - y = -4 - y$

$d_z = a_z + b_z - c_z = 4 + 6 - 5 = 5$

Таким образом, вектор $\vec{d}$ имеет координаты $(1; -4 - y; 5)$.

Далее найдем модуль (длину) вектора $\vec{d}$. Модуль вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{d}$ в эту формулу:

$|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + (-4 - y)^2 + 5^2}$

Упростим выражение под корнем:

$|\vec{d}| = \sqrt{1 + (-(4 + y))^2 + 25} = \sqrt{1 + (4 + y)^2 + 25} = \sqrt{26 + (4 + y)^2}$

Чтобы найти наименьшее значение модуля, нужно найти наименьшее значение подкоренного выражения $26 + (4 + y)^2$.

Выражение $(4 + y)^2$, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(4 + y)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0.

Это наименьшее значение достигается при условии, что основание степени равно нулю:

$4 + y = 0$

$y = -4$

При $y = -4$ подкоренное выражение принимает свое минимальное значение: $26 + (4 + (-4))^2 = 26 + 0^2 = 26$.

Следовательно, наименьшее значение модуля вектора равно:

$|\vec{d}|_{min} = \sqrt{26}$

Ответ: наименьшее значение модуля вектора равно $\sqrt{26}$ при $y = -4$.