Номер 3.34, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.34. Докажите, что для любых чисел $a, b, c, a_1, b_1$ и $c_1$ выполняется неравенство

$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} + \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \ge \sqrt{(a + a_1)^2 + (b + b_1)^2 + (c + c_1)^2}$.

Данное неравенство представляет собой неравенство треугольника для векторов в трехмерном евклидовом пространстве, также известное как неравенство Минковского для $p=2$.

Для доказательства рассмотрим два вектора в трехмерной декартовой системе координат: $\vec{v} = (a, b, c)$ и $\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)$.

Тогда левая часть неравенства представляет собой сумму длин (модулей) этих векторов:

$\sqrt{a^2+b^2+c^2} = |\vec{v}|$

$\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} = |\vec{u}|$

Сумма векторов $\vec{v}$ и $\vec{u}$ есть вектор $\vec{v} + \vec{u} = (a+a_1, b+b_1, c+c_1)$.

Правая часть неравенства — это длина вектора-суммы:

$\sqrt{(a+a_1)^2+(b+b_1)^2+(c+c_1)^2} = |\vec{v}+\vec{u}|$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в векторной форме:

$|\vec{v}| + |\vec{u}| \geq |\vec{v}+\vec{u}|$

Это неравенство является фундаментальным свойством векторов и геометрически означает, что длина стороны треугольника, образованного векторами $\vec{v}$, $\vec{u}$ и их суммой $\vec{v}+\vec{u}$, не может превышать сумму длин двух других сторон. Для формального доказательства приведем его алгебраическое обоснование.

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sqrt{a^2+b^2+c^2} + \sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2})^2 \geq \left(\sqrt{(a+a_1)^2+(b+b_1)^2+(c+c_1)^2}\right)^2$

Раскроем скобки в левой части:

$(a^2+b^2+c^2) + 2\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)} + (a_1^2+b_1^2+c_1^2)$

Раскроем скобки в правой части:

$(a+a_1)^2+(b+b_1)^2+(c+c_1)^2 = (a^2+2aa_1+a_1^2) + (b^2+2bb_1+b_1^2) + (c^2+2cc_1+c_1^2)$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$(a^2+b^2+c^2) + (a_1^2+b_1^2+c_1^2) + 2(aa_1+bb_1+cc_1)$

Сократив одинаковые слагаемые $(a^2+b^2+c^2)$ и $(a_1^2+b_1^2+c_1^2)$ в обеих частях неравенства, получим:

$2\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)} \geq 2(aa_1+bb_1+cc_1)$

Разделим обе части на 2:

$\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)} \geq aa_1+bb_1+cc_1$

Данное неравенство следует из неравенства Коши-Буняковского-Шварца, которое для скалярного произведения векторов $\vec{v}$ и $\vec{u}$ имеет вид: $(\vec{v} \cdot \vec{u})^2 \leq |\vec{v}|^2 |\vec{u}|^2$.

В координатной форме:

$(aa_1+bb_1+cc_1)^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|aa_1+bb_1+cc_1| \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)}$

Поскольку для любого действительного числа $X$ справедливо $X \leq |X|$, то:

$aa_1+bb_1+cc_1 \leq |aa_1+bb_1+cc_1| \leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a_1^2+b_1^2+c_1^2)}$

Таким образом, мы доказали неравенство, к которому свелось исходное. Следовательно, исходное неравенство также верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.