Номер 3.36, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.36. Стороны $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно равны 2 см и 4 см. Угол $BAD$ равен $60^\circ$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Найдите угол $MAN$.

Построим параллелограмм $ABCD$ согласно условию. Из свойств параллелограмма имеем: $AB = CD = 2$ см. $AD = BC = 4$ см. $\angle ABC = \angle ADC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. $\angle BCD = \angle BAD = 60^\circ$.

Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Найдем длины отрезков: $MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см. $ND = CN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см.

Для нахождения угла $\angle MAN$ найдем длины сторон треугольника $AMN$: $AM$, $AN$ и $MN$.

1. Найдем длину стороны $AM$.
Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем известны две стороны $AB=2$ см, $BM = MC = 2$ см и угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов: $AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle ABC)$ $AM^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^\circ) = 4 + 4 - 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 8 + 4 = 12$. $AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

2. Найдем длину стороны $AN$.
Рассмотрим треугольник $ADN$. В нем известны две стороны $AD=4$ см, $DN=1$ см и угол между ними $\angle ADC = 120^\circ$. По теореме косинусов: $AN^2 = AD^2 + DN^2 - 2 \cdot AD \cdot DN \cdot \cos(\angle ADC)$ $AN^2 = 4^2 + 1^2 - 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 16 + 1 - 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 17 + 4 = 21$. $AN = \sqrt{21}$ см.

3. Найдем длину стороны $MN$.
Рассмотрим треугольник $MCN$. В нем известны две стороны $MC=2$ см, $CN=1$ см и угол между ними $\angle BCD = 60^\circ$. По теореме косинусов: $MN^2 = MC^2 + CN^2 - 2 \cdot MC \cdot CN \cdot \cos(\angle BCD)$ $MN^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 4 + 1 - 4 \cdot \frac{1}{2} = 5 - 2 = 3$. $MN = \sqrt{3}$ см.

4. Найдем угол $\angle MAN$.
Теперь рассмотрим треугольник $AMN$. Мы знаем длины всех его сторон: $AM = \sqrt{12}$, $AN = \sqrt{21}$, $MN = \sqrt{3}$. Применим теорему косинусов для нахождения $\angle MAN$: $MN^2 = AM^2 + AN^2 - 2 \cdot AM \cdot AN \cdot \cos(\angle MAN)$ $\cos(\angle MAN) = \frac{AM^2 + AN^2 - MN^2}{2 \cdot AM \cdot AN}$ $\cos(\angle MAN) = \frac{12 + 21 - 3}{2 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{21}} = \frac{30}{2 \cdot \sqrt{252}}$ Упростим знаменатель: $\sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}$. $\cos(\angle MAN) = \frac{30}{2 \cdot 6\sqrt{7}} = \frac{30}{12\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{14}$.

Угол $\angle MAN$ можно выразить через арккосинус.

Альтернативный ход решения (геометрический): Можно заметить, что $\triangle MCD$ является равносторонним, так как $MC=CD=2$ см и $\angle C=60^\circ$. Отсюда $MD=2$ см. Тогда в $\triangle ADM$ стороны равны $AD=4$, $MD=2$, а угол между ними $\angle ADM = \angle ADC - \angle MDC = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. По теореме Пифагора ($AM^2+MD^2 = 12+4=16=AD^2$) $\triangle ADM$ - прямоугольный с $\angle AMD = 90^\circ$. Так как $N$ - середина стороны $CD$ в равностороннем $\triangle MCD$, то медиана $MN$ является и высотой, т.е. $MN \perp CD$. Значит, $\triangle MND$ - прямоугольный с $\angle MND=90^\circ$. В прямоугольном $\triangle MND$ гипотенуза $MD=2$ и катет $ND=1$, значит $\angle DMN = 30^\circ$. Тогда $\angle AMN = \angle AMD + \angle DMN = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$. Зная угол $\angle AMN = 120^\circ$ и стороны $MN=\sqrt{3}$ и $AN=\sqrt{21}$ в $\triangle AMN$, по теореме синусов: $\frac{MN}{\sin(\angle MAN)} = \frac{AN}{\sin(\angle AMN)}$ $\sin(\angle MAN) = \frac{MN \cdot \sin(\angle AMN)}{AN} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin(120^\circ)}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2)}{\sqrt{21}} = \frac{3/2}{\sqrt{21}} = \frac{3}{2\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{14}$.

Ответ: $\arccos(\frac{5\sqrt{7}}{14})$ (или $\arcsin(\frac{\sqrt{21}}{14})$).