Номер 3.30, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.30. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Выразите вектор $\vec{AA_1}$ через векторы $\vec{B_1 A}$, $\vec{B_1 C}$ и $\vec{B_1 D}$.

Для решения задачи воспользуемся правилами сложения векторов и свойствами параллелепипеда. Наша цель — выразить вектор $\vec{AA_1}$ через линейную комбинацию векторов $\vec{B_1A}$, $\vec{B_1C}$ и $\vec{B_1D}$.

По определению параллелепипеда, векторы, соответствующие параллельным ребрам, равны. В частности, $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Отсюда следует, что векторы, направленные в противоположную сторону, также равны между собой: $\vec{A_1A} = \vec{B_1B} = \vec{C_1C} = \vec{D_1D} = -\vec{AA_1}$.

Выразим данные векторы, исходящие из точки $B_1$, через векторы ребер и диагоналей граней, используя правило треугольника (или правило многоугольника) для сложения векторов:

1. Вектор $\vec{B_1A}$ можно представить как сумму векторов $\vec{B_1A_1}$ и $\vec{A_1A}$:

$\vec{B_1A} = \vec{B_1A_1} + \vec{A_1A}$

2. Вектор $\vec{B_1C}$ можно представить как сумму векторов $\vec{B_1C_1}$ и $\vec{C_1C}$:

$\vec{B_1C} = \vec{B_1C_1} + \vec{C_1C}$

3. Вектор $\vec{B_1D}$ можно представить как сумму векторов $\vec{B_1D_1}$ и $\vec{D_1D}$:

$\vec{B_1D} = \vec{B_1D_1} + \vec{D_1D}$

Так как $\vec{A_1A} = \vec{C_1C} = \vec{D_1D}$, для удобства обозначим этот вектор как $\vec{k}$. Искомый вектор $\vec{AA_1} = -\vec{k}$. Перепишем равенства:

$\vec{B_1A} = \vec{B_1A_1} + \vec{k}$ (1)

$\vec{B_1C} = \vec{B_1C_1} + \vec{k}$ (2)

$\vec{B_1D} = \vec{B_1D_1} + \vec{k}$ (3)

Верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом. По правилу параллелограмма для сложения векторов, сумма векторов, исходящих из одной вершины и идущих по сторонам, равна вектору диагонали, исходящему из той же вершины. Для вершины $B_1$ это означает:

$\vec{B_1A_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{B_1D_1}$

Теперь рассмотрим комбинацию векторов $\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D}$. Подставим в нее выражения (1), (2) и (3):

$\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D} = (\vec{B_1A_1} + \vec{k}) + (\vec{B_1C_1} + \vec{k}) - (\vec{B_1D_1} + \vec{k})$

Сгруппируем слагаемые:

$\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D} = (\vec{B_1A_1} + \vec{B_1C_1} - \vec{B_1D_1}) + (\vec{k} + \vec{k} - \vec{k})$

$\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D} = (\vec{B_1A_1} + \vec{B_1C_1} - \vec{B_1D_1}) + \vec{k}$

Используя правило параллелограмма $\vec{B_1A_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{B_1D_1}$, выражение в скобках становится равным нулевому вектору:

$\vec{B_1A_1} + \vec{B_1C_1} - \vec{B_1D_1} = \vec{0}$

Следовательно, получаем:

$\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D} = \vec{k}$

Мы искали вектор $\vec{AA_1}$, который равен $-\vec{k}$. Таким образом:

$\vec{AA_1} = -(\vec{B_1A} + \vec{B_1C} - \vec{B_1D})$

$\vec{AA_1} = -\vec{B_1A} - \vec{B_1C} + \vec{B_1D}$

Ответ: $\vec{AA_1} = \vec{B_1D} - \vec{B_1A} - \vec{B_1C}$.