Номер 3.28, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.28. Даны треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Докажите, что

$\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1}$.

Для доказательства данного векторного равенства преобразуем его правую часть, используя правило сложения векторов (правило треугольника). Правило треугольника гласит, что для любых трех точек X, Y, Z справедливо равенство $\vec{XZ} = \vec{XY} + \vec{YZ}$.

Рассмотрим правую часть исходного равенства:

$\vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CA_1}$

Применим правило треугольника к каждому вектору, чтобы разложить его на сумму двух векторов. Выберем разложение таким образом, чтобы появились векторы, присутствующие в левой части равенства.

1. Для вектора $\vec{AB_1}$ используем точку B в качестве промежуточной:$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

2. Для вектора $\vec{BC_1}$ используем точку C в качестве промежуточной:$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

3. Для вектора $\vec{CA_1}$ используем точку A в качестве промежуточной:$\vec{CA_1} = \vec{CA} + \vec{AA_1}$

Теперь подставим полученные выражения обратно в правую часть равенства:

$\vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CA_1} = (\vec{AB} + \vec{BB_1}) + (\vec{BC} + \vec{CC_1}) + (\vec{CA} + \vec{AA_1})$

Сгруппируем слагаемые, отделив векторы, образующие стороны треугольника ABC, от остальных векторов:

$(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) + (\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1})$

Сумма векторов, образующих замкнутый контур (в данном случае, стороны треугольника ABC), всегда равна нулевому вектору:

$\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$

Следовательно, выражение для правой части упрощается:

$\vec{0} + (\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1}) = \vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1}$

Полученное выражение в точности совпадает с левой частью исходного равенства. Таким образом, мы доказали, что левая часть равна правой.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CA_1}$ является верным, так как правая часть тождественно преобразуется в левую с помощью правила сложения векторов.