Номер 3.35, страница 29 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.35. Одно из оснований прямоугольной трапеции на 7 см меньше другого, а большая боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ делит прямой угол трапеции пополам.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где ∠A и ∠B — прямые углы. BC и AD — основания, AB — меньшая боковая сторона (высота), а CD — большая боковая сторона. Обозначим длины сторон: $BC = b$, $AD = a$, $AB = h$.

Из условия задачи нам известно:

• Одно основание на 7 см меньше другого. Так как BC — меньшее основание, то $a - b = 7$ см.
• Большая боковая сторона $CD = 25$ см.
• Меньшая диагональ AC делит прямой угол ∠A пополам.

Так как диагональ AC является биссектрисой угла ∠A, то $∠BAC = ∠CAD = 90° / 2 = 45°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABC, в котором $∠B = 90°$. Поскольку $∠BAC = 45°$, то треугольник ΔABC является равнобедренным, так как и второй острый угол $∠BCA = 180° - 90° - 45° = 45°$. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, следовательно, $AB = BC$. Это означает, что высота трапеции равна ее меньшему основанию: $h = b$.

Проведем из вершины C высоту CH на основание AD. Получим прямоугольник ABCH, в котором $CH = AB = h$ и $AH = BC = b$. Отрезок HD на большем основании будет равен разности оснований: $HD = AD - AH = a - b$.

По условию, $a - b = 7$ см, следовательно, $HD = 7$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ΔCHD. В нем известны гипотенуза $CD = 25$ см и катет $HD = 7$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет CH, который является высотой трапеции h:

$CH^2 + HD^2 = CD^2$

$h^2 + 7^2 = 25^2$

$h^2 + 49 = 625$

$h^2 = 625 - 49$

$h^2 = 576$

$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Мы нашли высоту трапеции. Так как мы установили, что $h = b$, то меньшее основание $b = 24$ см.

Большее основание $a = b + 7 = 24 + 7 = 31$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Подставим найденные значения:

$S = \frac{31+24}{2} \cdot 24 = \frac{55}{2} \cdot 24 = 55 \cdot 12 = 660$ см².

Ответ: 660 см².