Номер 3.29, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.29. Даны четырёхугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Докажите, что

$\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}.$

Для доказательства данного векторного равенства преобразуем его правую часть, используя правило треугольника (также известное как правило Шаля) для сложения векторов. Согласно этому правилу, для любых трёх точек X, Y, Z справедливо равенство $\overrightarrow{XZ} = \overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ}$.

Правая часть доказываемого равенства имеет вид: $\overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}$.

Представим каждый вектор в этой сумме как сумму двух векторов, вводя промежуточную точку в соответствии с правилом треугольника:

$\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1}$
$\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}$
$\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DD_1}$
$\overrightarrow{DA_1} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AA_1}$

Теперь подставим эти выражения обратно в правую часть исходного равенства:

$\overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1}) + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1}) + (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DD_1}) + (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AA_1})$

Перегруппируем слагаемые в полученном выражении, объединив векторы, соединяющие соответственные вершины четырёхугольников, и векторы, являющиеся сторонами четырёхугольника $ABCD$:

$(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1}) + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA})$

Рассмотрим сумму векторов, образующих замкнутый контур четырёхугольника $ABCD$: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}$. По правилу многоугольника для сложения векторов, эта сумма равна нулевому вектору. Покажем это последовательным сложением:

$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}) + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$.

Таким образом, правая часть исходного равенства преобразуется к виду:

$(\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1}) + \vec{0} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1}$

Мы получили выражение, которое в точности совпадает с левой частью исходного равенства. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Тождество $\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{DA_1}$ доказано.