Номер 3.24, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.24. Сторона основания правильной пирамиды $MABCD$ равна 2 см.

Найдите модуль вектора $\vec{m} = \vec{AM} + \vec{AD} - \vec{BM}$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{m} = \vec{AM} + \vec{AD} - \vec{BM}$ необходимо сначала упростить данное векторное выражение.

Используем свойство вычитания векторов: вычитание вектора равносильно прибавлению противоположного ему вектора. Таким образом, $-\vec{BM} = \vec{MB}$. Подставим это в исходное выражение:

$\vec{m} = \vec{AM} + \vec{AD} + \vec{MB}$

Переставим слагаемые, чтобы воспользоваться правилом сложения векторов (правилом треугольника):

$\vec{m} = (\vec{MB} + \vec{AM}) + \vec{AD}$

Сумма векторов $\vec{MB}$ и $\vec{AM}$ по правилу треугольника (или правилу Шаля) равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго. Чтобы применить правило, запишем их в другом порядке: $\vec{AM} + \vec{MB}$. Конец вектора $\vec{AM}$ (точка M) совпадает с началом вектора $\vec{MB}$ (точка M). Следовательно, их сумма равна вектору $\vec{AB}$:

$\vec{AM} + \vec{MB} = \vec{AB}$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для $\vec{m}$:

$\vec{m} = \vec{AB} + \vec{AD}$

В условии сказано, что $MABCD$ — это правильная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит правильный многоугольник. В данном случае, основание $ABCD$ — это квадрат. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ соответствуют сторонам квадрата, выходящим из одной вершины $A$.

Для нахождения суммы этих векторов применим правило параллелограмма. Сумма двух векторов, отложенных от одной точки, равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах и выходящей из той же точки. Для квадрата $ABCD$ эта диагональ — $AC$.

$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$

Таким образом, мы получили, что $\vec{m} = \vec{AC}$.

Модуль вектора $\vec{m}$ равен его длине, то есть длине диагонали квадрата $AC$.

$|\vec{m}| = |\vec{AC}| = AC$

Сторона основания квадрата $ABCD$ по условию равна 2 см. Найдем длину диагонали $AC$, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ (в квадрате угол $B$ прямой):

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

$AC = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.