Номер 3.17, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.17. Докажите, что векторы $\vec{CD} + \vec{DE} - \vec{KE}$ и $\vec{MC} - \vec{MK} - \vec{EC}$ противоположны.

Чтобы доказать, что два вектора являются противоположными, необходимо показать, что их сумма равна нулевому вектору. Обозначим данные векторы как $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} = \vec{CD} + \vec{DE} - \vec{KE}$

$\vec{v_2} = \vec{MC} - \vec{MK} - \vec{EC}$

1. Упрощение первого вектора $\vec{v_1}$

Воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника): $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Сумма первых двух слагаемых: $\vec{CD} + \vec{DE} = \vec{CE}$.

Тогда выражение для $\vec{v_1}$ принимает вид: $\vec{v_1} = \vec{CE} - \vec{KE}$.

Используем свойство, что $-\vec{KE} = \vec{EK}$. Получаем:

$\vec{v_1} = \vec{CE} + \vec{EK}$.

Снова применяем правило треугольника:

$\vec{v_1} = \vec{CE} + \vec{EK} = \vec{CK}$.

2. Упрощение второго вектора $\vec{v_2}$

Воспользуемся правилом вычитания векторов с общим началом: $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$.

Разность первых двух слагаемых: $\vec{MC} - \vec{MK} = \vec{KC}$.

Тогда выражение для $\vec{v_2}$ принимает вид: $\vec{v_2} = \vec{KC} - \vec{EC}$.

Используем свойство, что $-\vec{EC} = \vec{CE}$. Получаем:

$\vec{v_2} = \vec{KC} + \vec{CE}$.

Применяем правило треугольника:

$\vec{v_2} = \vec{KC} + \vec{CE} = \vec{KE}$.

3. Анализ полученных результатов

Мы получили, что $\vec{v_1} = \vec{CK}$ и $\vec{v_2} = \vec{KE}$.

Проверим, являются ли эти векторы противоположными. Для этого найдем их сумму:

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{CK} + \vec{KE} = \vec{CE}$.

Сумма векторов равна $\vec{CE}$. Векторы являются противоположными, если их сумма равна нулевому вектору ($\vec{0}$). Это возможно, только если $\vec{CE} = \vec{0}$, то есть точки C и E совпадают. Поскольку это не выполняется в общем случае, в условии задачи, вероятно, содержится опечатка.

4. Решение задачи с исправленным условием

Наиболее вероятная опечатка заключается в последнем слагаемом второго вектора. Если предположить, что вместо $\vec{EC}$ должен быть нулевой вектор, например, $\vec{CC}$, то второй вектор будет равен $\vec{v_2'} = \vec{MC} - \vec{MK} - \vec{CC}$.

Упростим $\vec{v_2'}$:

$\vec{v_2'} = (\vec{MC} - \vec{MK}) - \vec{CC} = \vec{KC} - \vec{0} = \vec{KC}$.

Теперь сравним $\vec{v_1} = \vec{CK}$ и $\vec{v_2'} = \vec{KC}$.

По определению, вектор $\vec{KC}$ является противоположным вектору $\vec{CK}$, то есть $\vec{KC} = -\vec{CK}$.

Таким образом, $\vec{v_2'} = -\vec{v_1}$, что доказывает, что векторы (в исправленной формулировке) противоположны.

Ответ: В исходной формулировке задачи утверждение верно только в частном случае, когда точки C и E совпадают, так как сумма данных векторов равна $\vec{CE}$. Если предположить, что в условии опечатка и второй вектор равен $\vec{MC} - \vec{MK} - \vec{CC}$, то задача решается следующим образом: первый вектор упрощается до $\vec{CK}$, а исправленный второй — до $\vec{KC}$. Векторы $\vec{CK}$ и $\vec{KC}$ являются противоположными, так как $\vec{KC} = -\vec{CK}$.