Номер 3.19, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.19. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите сумму $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A_1D_1} + \overrightarrow{CB}$.

Обозначим искомую сумму векторов как $\vec{S}$.

$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{DC} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{A_1D_1} + \vec{CB}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойствами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В параллелепипеде противоположные рёбра параллельны и равны по длине, что позволяет нам выразить одни векторы через другие на основе этого свойства.

Заменим некоторые векторы в сумме на равные им:

1. Так как грань $ABCD$ является параллелограммом, то $\vec{DC} = \vec{AB}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$.

2. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

3. Так как грань $ADD_1A_1$ является параллелограммом, то $\vec{A_1D_1} = \vec{AD}$.

4. Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$. Поскольку $\vec{BC} = \vec{AD}$, то $\vec{CB} = -\vec{AD}$.

Подставим эти выражения в исходную сумму, заменяя векторы $\vec{DC}$, $\vec{BA}$, $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{CB}$:

$\vec{S} = \vec{AC} + (\vec{AB}) + \vec{DA} + (-\vec{AB}) + (\vec{AD}) + (-\vec{AD})$

Теперь сгруппируем и упростим слагаемые. Можно заметить, что некоторые векторы взаимно уничтожаются:

$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{DA} + (\vec{AB} - \vec{AB}) + (\vec{AD} - \vec{AD})$

Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору ($\vec{v} - \vec{v} = \vec{0}$), поэтому:

$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{DA} + \vec{0} + \vec{0}$

$\vec{S} = \vec{AC} + \vec{DA}$

Используя переместительное свойство сложения векторов, запишем:

$\vec{S} = \vec{DA} + \vec{AC}$

По правилу треугольника (правило Шаля), сумма векторов, где начало второго вектора совпадает с концом первого, равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго. В нашем случае это вектор $\vec{DC}$:

$\vec{DA} + \vec{AC} = \vec{DC}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна $\vec{DC}$.

Ответ: $\vec{DC}$