Номер 3.16, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.16. Докажите, что векторы $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ и $\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{CM} + \overrightarrow{AM}$ противоположны.

Два вектора называются противоположными, если их сумма равна нулевому вектору. Чтобы доказать, что векторы $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{BD}$ и $\vec{DA} - \vec{CM} + \vec{AM}$ противоположны, нужно показать, что их сумма равна $\vec{0}$.

Обозначим первый вектор как $\vec{v_1} = \vec{AB} - \vec{AC} + \vec{BD}$ и второй вектор как $\vec{v_2} = \vec{DA} - \vec{CM} + \vec{AM}$.

Упростим выражение для первого вектора $\vec{v_1}$.
Используем правило вычитания векторов, согласно которому $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.
Подставим это в выражение для $\vec{v_1}$:$\vec{v_1} = \vec{CB} + \vec{BD}$.
Теперь используем правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{CB} + \vec{BD} = \vec{CD}$.
Таким образом, первый вектор равен $\vec{v_1} = \vec{CD}$.

Упростим выражение для второго вектора $\vec{v_2}$.
Перегруппируем слагаемые для удобства: $\vec{v_2} = (\vec{DA} + \vec{AM}) - \vec{CM}$.
По правилу сложения векторов (правило треугольника): $\vec{DA} + \vec{AM} = \vec{DM}$.
Подставим это в выражение для $\vec{v_2}$:$\vec{v_2} = \vec{DM} - \vec{CM}$.
Разность векторов $\vec{DM} - \vec{CM}$ можно представить как сумму $\vec{DM} + \vec{MC}$.
Снова по правилу треугольника: $\vec{DM} + \vec{MC} = \vec{DC}$.
Таким образом, второй вектор равен $\vec{v_2} = \vec{DC}$.

Теперь найдем сумму упрощенных векторов:
$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{CD} + \vec{DC}$.
Векторы $\vec{CD}$ и $\vec{DC}$ имеют равные модули и противоположные направления, следовательно, они являются противоположными векторами. Их сумма равна нулевому вектору:
$\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}$.
Поскольку сумма исходных векторов равна нулевому вектору, они противоположны, что и требовалось доказать.

Ответ: Векторы являются противоположными, так как после упрощения первый вектор равен $\vec{CD}$, а второй равен $\vec{DC}$, и их сумма $\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}$.