Номер 3.14, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.14. Упростите выражение:

1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{NK} + \overrightarrow{DC};$

2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{CF} - \overrightarrow{EF}.$

1) Чтобы упростить выражение $\vec{AB} + \vec{CD} + \vec{BM} + \vec{MA} + \vec{NK} + \vec{DC}$, воспользуемся свойствами сложения векторов. Сгруппируем слагаемые, чтобы применить правило треугольника (правило Шаля) и свойство противоположных векторов ($\vec{XY} + \vec{YX} = \vec{0}$).

Переставим слагаемые:

$(\vec{AB} + \vec{BM} + \vec{MA}) + (\vec{CD} + \vec{DC}) + \vec{NK}$

Рассмотрим первую группу слагаемых. По правилу треугольника $\vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AM}$. Тогда выражение в скобках принимает вид:

$\vec{AM} + \vec{MA}$

Сумма векторов $\vec{AM}$ и $\vec{MA}$ равна нулевому вектору, так как это противоположные векторы:

$\vec{AM} + \vec{MA} = \vec{0}$

Рассмотрим вторую группу слагаемых:

$\vec{CD} + \vec{DC}$

Это также сумма противоположных векторов, которая равна нулевому вектору:

$\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}$

Теперь подставим полученные результаты обратно в исходное выражение:

$\vec{0} + \vec{0} + \vec{NK} = \vec{NK}$

Ответ: $\vec{NK}$

2) Чтобы упростить выражение $\vec{AB} - \vec{CD} - \vec{AE} + \vec{CF} - \vec{EF}$, заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами, используя правило $-\vec{XY} = \vec{YX}$.

$\vec{AB} - \vec{CD} - \vec{AE} + \vec{CF} - \vec{EF} = \vec{AB} + \vec{DC} + \vec{EA} + \vec{CF} + \vec{FE}$

Теперь перегруппируем слагаемые так, чтобы можно было последовательно применить правило многоугольника (правило Шаля), согласно которому конец предыдущего вектора является началом следующего:

$\vec{EA} + \vec{AB} + \vec{DC} + \vec{CF} + \vec{FE}$

Можно составить другую, более удобную цепочку:

$\vec{DC} + \vec{CF} + \vec{FE} + \vec{EA} + \vec{AB}$

Теперь последовательно складываем векторы:

$(\vec{DC} + \vec{CF}) + \vec{FE} + \vec{EA} + \vec{AB} = \vec{DF} + \vec{FE} + \vec{EA} + \vec{AB}$

$(\vec{DF} + \vec{FE}) + \vec{EA} + \vec{AB} = \vec{DE} + \vec{EA} + \vec{AB}$

$(\vec{DE} + \vec{EA}) + \vec{AB} = \vec{DA} + \vec{AB}$

И наконец:

$\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$

Ответ: $\vec{DB}$