Номер 3.8, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.8. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{AB} - \vec{DC_1}$;

2) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В кубе все ребра равны, а грани являются квадратами. Противоположные грани параллельны, а следовательно, векторы, лежащие на параллельных ребрах или диагоналях, могут быть равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Требуется найти разность векторов $\vec{AB} - \vec{DC_1}$.

В кубе грань $DCC_1D_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$. Вектор $\vec{DC_1}$ является диагональю грани $DCC_1D_1$. Вектор $\vec{AB_1}$ является соответствующей диагональю параллельной грани $ABB_1A_1$. Поскольку грани параллельны и конгруэнтны, эти векторы равны: $\vec{DC_1} = \vec{AB_1}$.

Выполним замену в исходном выражении:

$\vec{AB} - \vec{DC_1} = \vec{AB} - \vec{AB_1}$

Разность двух векторов, исходящих из одной точки, представляет собой вектор, соединяющий их конечные точки. Этот вектор направлен от конца вычитаемого вектора (в данном случае $B_1$) к концу уменьшаемого вектора (в данном случае $B$).

Следовательно, $\vec{AB} - \vec{AB_1} = \vec{B_1B}$.

Также можно рассмотреть это через сложение векторов: $\vec{AB} - \vec{AB_1} = \vec{AB} + (-\vec{AB_1}) = \vec{AB} + \vec{B_1A}$. Поменяв слагаемые местами, по правилу треугольника получим: $\vec{B_1A} + \vec{AB} = \vec{B_1B}$.

Ответ: $\vec{B_1B}$

Требуется найти разность векторов $\vec{AC} - \vec{DD_1}$.

В кубе все боковые ребра параллельны и равны. Поэтому вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$, так как они сонаправлены и имеют одинаковую длину (длину ребра куба). То есть, $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$.

Подставим равный вектор в выражение:

$\vec{AC} - \vec{DD_1} = \vec{AC} - \vec{AA_1}$

Мы получили разность двух векторов, $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$, которые выходят из одной точки $A$. По правилу вычитания векторов, результирующий вектор начинается в конечной точке вычитаемого вектора ($\vec{AA_1}$, точка $A_1$) и заканчивается в конечной точке уменьшаемого вектора ($\vec{AC}$, точка $C$).

Таким образом, $\vec{AC} - \vec{AA_1} = \vec{A_1C}$.

Ответ: $\vec{A_1C}$