Номер 3.1, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.1. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 3.12). Найдите сумму векторов:

1) $\vec{BC} + \vec{AA_1}$;

2) $\vec{BA} + \vec{A_1C_1}$.

Рис. 3.12

Для решения задачи воспользуемся свойствами призмы и правилами сложения векторов.

В призме $ABCA_1B_1C_1$ основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равные треугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны и равны между собой. Из этого следуют векторные равенства:

• $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$
• $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$, $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$

Согласно свойствам призмы, вектор, соответствующий боковому ребру $AA_1$, равен вектору, соответствующему боковому ребру $CC_1$. То есть, $\vec{AA_1} = \vec{CC_1}$.

Выполним замену в исходном выражении:

$\vec{BC} + \vec{AA_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

Теперь применим правило треугольника для сложения векторов. Конец вектора $\vec{BC}$ (точка C) совпадает с началом вектора $\vec{CC_1}$ (точка C). Суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора (точка B), а конец — с концом второго вектора (точка $C_1$).

$\vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{BC_1}$

Ответ: $\vec{BC_1}$

Поскольку основания призмы являются равными и параллельными фигурами, соответствующие им векторы сторон равны. В данном случае, вектор $\vec{A_1C_1}$ в верхнем основании равен вектору $\vec{AC}$ в нижнем основании.

$\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$

Заменим вектор $\vec{A_1C_1}$ на $\vec{AC}$ в исходном выражении:

$\vec{BA} + \vec{A_1C_1} = \vec{BA} + \vec{AC}$

Воспользуемся правилом треугольника (правилом Шаля). Конец первого вектора $\vec{BA}$ (точка A) является началом второго вектора $\vec{AC}$ (точка A). Суммой будет вектор, идущий из начала первого вектора (точка B) в конец второго (точка C).

$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Ответ: $\vec{BC}$