Номер 2.28, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.28. Точки $A (1; -2; 5)$, $C (-5; 4; 3)$, $A_1 (7; 1; -2)$ и $B_1 (0; 2; -6)$ являются вершинами параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. С помощью векторов найдите координаты остальных вершин данного параллелепипеда.

Для нахождения координат остальных вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся свойствами векторов. В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, что означает равенство соответствующих векторов. Например, $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$ и $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Координаты любой вершины можно найти, зная координаты другой вершины и вектор, их соединяющий, по формуле $\vec{OP_2} = \vec{OP_1} + \vec{P_1P_2}$, где O — начало координат.

Сначала найдем векторы, определяющие ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины, например A.
1. Вектор бокового ребра $\vec{AA_1}$:
$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (7 - 1; 1 - (-2); -2 - 5) = (6; 3; -7)$.
Этот вектор является вектором параллельного переноса, переводящего основание $ABCD$ в основание $A_1B_1C_1D_1$.
2. Вектор ребра основания $\vec{AB}$. Так как $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, найдем $\vec{A_1B_1}$:
$\vec{A_1B_1} = (x_{B_1} - x_{A_1}; y_{B_1} - y_{A_1}; z_{B_1} - z_{A_1}) = (0 - 7; 2 - 1; -6 - (-2)) = (-7; 1; -4)$.
Следовательно, $\vec{AB} = (-7; 1; -4)$.

Теперь можем найти координаты неизвестных вершин.

Координаты вершины B
Координаты точки B равны сумме координат точки A и вектора $\vec{AB}$:
$B = A + \vec{AB} = (1; -2; 5) + (-7; 1; -4) = (1-7; -2+1; 5-4) = (-6; -1; 1)$.
Для проверки убедимся, что $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$:
$\vec{BB_1} = B_1 - B = (0 - (-6); 2 - (-1); -6 - 1) = (6; 3; -7)$.
Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ совпадают, значит, координаты точки B найдены верно.
Ответ: $B(-6; -1; 1)$.

Координаты вершины D
В основании параллелепипеда лежит параллелограмм ABCD. Для него справедливо векторное равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Найдем вектор $\vec{BC}$:
$\vec{BC} = C - B = (-5 - (-6); 4 - (-1); 3 - 1) = (1; 5; 2)$.
Тогда $\vec{AD} = (1; 5; 2)$.
Координаты точки D найдем, прибавив к координатам точки A вектор $\vec{AD}$:
$D = A + \vec{AD} = (1; -2; 5) + (1; 5; 2) = (1+1; -2+5; 5+2) = (2; 3; 7)$.
Альтернативный способ: диагонали параллелограмма AC и BD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$. Отсюда $\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OC} - \vec{OB}$.
$D = A + C - B = (1; -2; 5) + (-5; 4; 3) - (-6; -1; 1) = (1-5+6; -2+4-(-1); 5+3-1) = (2; 3; 7)$.
Результаты совпадают.
Ответ: $D(2; 3; 7)$.

Координаты вершины C₁
Координаты точки $C_1$ можно найти, прибавив к координатам точки C вектор параллельного переноса $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$:
$C_1 = C + \vec{AA_1} = (-5; 4; 3) + (6; 3; -7) = (-5+6; 4+3; 3-7) = (1; 7; -4)$.
Ответ: $C_1(1; 7; -4)$.

Координаты вершины D₁
Аналогично найдем координаты точки $D_1$, прибавив к координатам точки D вектор $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$:
$D_1 = D + \vec{AA_1} = (2; 3; 7) + (6; 3; -7) = (2+6; 3+3; 7-7) = (8; 6; 0)$.
Ответ: $D_1(8; 6; 0)$.