Страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.28. Точки $A (1; -2; 5)$, $C (-5; 4; 3)$, $A_1 (7; 1; -2)$ и $B_1 (0; 2; -6)$ являются вершинами параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. С помощью векторов найдите координаты остальных вершин данного параллелепипеда.

Для нахождения координат остальных вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся свойствами векторов. В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, что означает равенство соответствующих векторов. Например, $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$ и $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Координаты любой вершины можно найти, зная координаты другой вершины и вектор, их соединяющий, по формуле $\vec{OP_2} = \vec{OP_1} + \vec{P_1P_2}$, где O — начало координат.

Сначала найдем векторы, определяющие ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины, например A.
1. Вектор бокового ребра $\vec{AA_1}$:
$\vec{AA_1} = (x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A) = (7 - 1; 1 - (-2); -2 - 5) = (6; 3; -7)$.
Этот вектор является вектором параллельного переноса, переводящего основание $ABCD$ в основание $A_1B_1C_1D_1$.
2. Вектор ребра основания $\vec{AB}$. Так как $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, найдем $\vec{A_1B_1}$:
$\vec{A_1B_1} = (x_{B_1} - x_{A_1}; y_{B_1} - y_{A_1}; z_{B_1} - z_{A_1}) = (0 - 7; 2 - 1; -6 - (-2)) = (-7; 1; -4)$.
Следовательно, $\vec{AB} = (-7; 1; -4)$.

Теперь можем найти координаты неизвестных вершин.

Координаты вершины B
Координаты точки B равны сумме координат точки A и вектора $\vec{AB}$:
$B = A + \vec{AB} = (1; -2; 5) + (-7; 1; -4) = (1-7; -2+1; 5-4) = (-6; -1; 1)$.
Для проверки убедимся, что $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$:
$\vec{BB_1} = B_1 - B = (0 - (-6); 2 - (-1); -6 - 1) = (6; 3; -7)$.
Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ совпадают, значит, координаты точки B найдены верно.
Ответ: $B(-6; -1; 1)$.

Координаты вершины D
В основании параллелепипеда лежит параллелограмм ABCD. Для него справедливо векторное равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Найдем вектор $\vec{BC}$:
$\vec{BC} = C - B = (-5 - (-6); 4 - (-1); 3 - 1) = (1; 5; 2)$.
Тогда $\vec{AD} = (1; 5; 2)$.
Координаты точки D найдем, прибавив к координатам точки A вектор $\vec{AD}$:
$D = A + \vec{AD} = (1; -2; 5) + (1; 5; 2) = (1+1; -2+5; 5+2) = (2; 3; 7)$.
Альтернативный способ: диагонали параллелограмма AC и BD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD}$. Отсюда $\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{OC} - \vec{OB}$.
$D = A + C - B = (1; -2; 5) + (-5; 4; 3) - (-6; -1; 1) = (1-5+6; -2+4-(-1); 5+3-1) = (2; 3; 7)$.
Результаты совпадают.
Ответ: $D(2; 3; 7)$.

Координаты вершины C₁
Координаты точки $C_1$ можно найти, прибавив к координатам точки C вектор параллельного переноса $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$:
$C_1 = C + \vec{AA_1} = (-5; 4; 3) + (6; 3; -7) = (-5+6; 4+3; 3-7) = (1; 7; -4)$.
Ответ: $C_1(1; 7; -4)$.

Координаты вершины D₁
Аналогично найдем координаты точки $D_1$, прибавив к координатам точки D вектор $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$:
$D_1 = D + \vec{AA_1} = (2; 3; 7) + (6; 3; -7) = (2+6; 3+3; 7-7) = (8; 6; 0)$.
Ответ: $D_1(8; 6; 0)$.

2.29. Точки $A (1; 4; -4)$, $B (4; -3; 1)$, $C_1 (-5; 1; 0)$ и $B_1 (8; -2; 3)$ являются вершинами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. С помощью векторов найдите координаты остальных вершин данного параллелепипеда.

Для нахождения координат остальных вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся свойствами векторов в пространстве. В параллелепипеде противоположные грани являются параллельными и равными параллелограммами. Это означает, что векторы, соответствующие параллельным рёбрам, равны. В частности, $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$ и $\vec{AB} = \vec{DC}$, $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Даны координаты вершин: $A(1; 4; -4)$, $B(4; -3; 1)$, $C_1(-5; 1; 0)$ и $B_1(8; -2; 3)$.

Сначала найдём вектор, определяющий боковое ребро параллелепипеда, используя известные координаты точек $B$ и $B_1$:

$\vec{BB_1} = (x_{B_1} - x_B; y_{B_1} - y_B; z_{B_1} - z_B) = (8-4; -2-(-3); 3-1) = (4; 1; 2)$.

Этот вектор равен всем остальным векторам боковых рёбер: $\vec{AA_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = (4; 1; 2)$.

Координаты вершины C

Координаты вершины $C$ можно найти, зная координаты вершины $C_1$ и вектор $\vec{CC_1}$. Координаты точки $C$ вычисляются как разность координат точки $C_1$ и вектора $\vec{CC_1}$ (поскольку $\vec{C} = \vec{C_1} - \vec{CC_1}$):

$C = C_1 - \vec{CC_1} = (-5; 1; 0) - (4; 1; 2) = (-5-4; 1-1; 0-2) = (-9; 0; -2)$.

Ответ: $C(-9; 0; -2)$.

Координаты вершины D

Для нахождения координат вершины $D$ воспользуемся правилом параллелограмма для основания $ABCD$: $\vec{AD} = \vec{BC}$. Сначала найдём вектор $\vec{BC}$, используя найденные координаты $C(-9; 0; -2)$ и данные $B(4; -3; 1)$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-9-4; 0-(-3); -2-1) = (-13; 3; -3)$.

Теперь, зная координаты точки $A(1; 4; -4)$ и вектор $\vec{AD} = \vec{BC}$, найдём координаты точки $D$ (поскольку $\vec{D} = \vec{A} + \vec{AD}$):

$D = A + \vec{AD} = A + \vec{BC} = (1; 4; -4) + (-13; 3; -3) = (1-13; 4+3; -4-3) = (-12; 7; -7)$.

Ответ: $D(-12; 7; -7)$.

Координаты вершины A₁

Координаты вершины $A_1$ можно найти, прибавив к координатам точки $A(1; 4; -4)$ координаты вектора $\vec{AA_1} = (4; 1; 2)$ (поскольку $\vec{A_1} = \vec{A} + \vec{AA_1}$):

$A_1 = A + \vec{AA_1} = (1; 4; -4) + (4; 1; 2) = (1+4; 4+1; -4+2) = (5; 5; -2)$.

Ответ: $A_1(5; 5; -2)$.

Координаты вершины D₁

Координаты вершины $D_1$ можно найти, прибавив к координатам найденной вершины $D(-12; 7; -7)$ координаты вектора $\vec{DD_1} = (4; 1; 2)$ (поскольку $\vec{D_1} = \vec{D} + \vec{DD_1}$):

$D_1 = D + \vec{DD_1} = (-12; 7; -7) + (4; 1; 2) = (-12+4; 7+1; -7+2) = (-8; 8; -5)$.

Ответ: $D_1(-8; 8; -5)$.

2.30. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 39 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD > BC$.

По условию задачи имеем:

• меньшее основание $BC = 15$ см;
• большее основание $AD = 39$ см;
• трапеция равнобокая, следовательно, боковые стороны равны: $AB = CD$;
• диагональ перпендикулярна боковой стороне, пусть $AC \perp CD$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. В нашем случае $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$. Для нахождения площади необходимо определить высоту трапеции.

1. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Длина одного из них, $HD$, равна полуразности оснований.

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{39 - 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

2. Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как по условию $AC \perp CD$, то $\triangle ACD$ является прямоугольным, а $AD$ — его гипотенузой.

$CH$ является высотой этого прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AD$.

3. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть $CH^2 = AH \cdot HD$.

Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = AD - HD = 39 - 12 = 27$ см.

Теперь можем найти высоту $h = CH$:

$h^2 = AH \cdot HD = 27 \cdot 12 = 324$

$h = \sqrt{324} = 18$ см.

4. Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{39+15}{2} \cdot 18 = \frac{54}{2} \cdot 18 = 27 \cdot 18 = 486$ см$^2$.

Ответ: 486 см$^2$.

2.31. По одну сторону от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 30 см и 48 см. Найдите расстояние между хордами, если радиус окружности равен 25 см.

Пусть в окружности с центром O и радиусом $R = 25$ см проведены две параллельные хорды AB и CD. Длина хорды AB равна 48 см, а длина хорды CD равна 30 см. Хорды расположены по одну сторону от центра O.

Проведем из центра O перпендикуляр к хордам. Так как хорды AB и CD параллельны, этот перпендикуляр будет перпендикулярен обеим хордам. Пусть он пересекает хорду AB в точке M и хорду CD в точке N. Расстояние от центра до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Таким образом, OM — это расстояние от центра до хорды AB, а ON — расстояние от центра до хорды CD. Искомое расстояние между хордами равно длине отрезка MN.

Согласно свойству окружности, радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Следовательно, точка M — середина AB, а точка N — середина CD.
$AM = \frac{AB}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.
$CN = \frac{CD}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA (угол OMA = 90°). Гипотенуза OA является радиусом окружности, поэтому $OA = 25$ см. Катет $AM = 24$ см. Применим теорему Пифагора для нахождения катета OM:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$25^2 = OM^2 + 24^2$
$625 = OM^2 + 576$
$OM^2 = 625 - 576 = 49$
$OM = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ONC (угол ONC = 90°). Гипотенуза OC также является радиусом, $OC = 25$ см. Катет $CN = 15$ см. По теореме Пифагора найдем катет ON:
$OC^2 = ON^2 + CN^2$
$25^2 = ON^2 + 15^2$
$625 = ON^2 + 225$
$ON^2 = 625 - 225 = 400$
$ON = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как обе хорды находятся по одну сторону от центра, искомое расстояние между ними MN будет равно разности расстояний от центра до каждой хорды:
$MN = ON - OM = 20 - 7 = 13$ см.

Ответ: 13 см.