Номер 2.30, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.30. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 39 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD > BC$.

По условию задачи имеем:

• меньшее основание $BC = 15$ см;
• большее основание $AD = 39$ см;
• трапеция равнобокая, следовательно, боковые стороны равны: $AB = CD$;
• диагональ перпендикулярна боковой стороне, пусть $AC \perp CD$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота. В нашем случае $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$. Для нахождения площади необходимо определить высоту трапеции.

1. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка. Длина одного из них, $HD$, равна полуразности оснований.

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{39 - 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

2. Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как по условию $AC \perp CD$, то $\triangle ACD$ является прямоугольным, а $AD$ — его гипотенузой.

$CH$ является высотой этого прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AD$.

3. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков, на которые она делит гипотенузу. То есть $CH^2 = AH \cdot HD$.

Найдем длину отрезка $AH$:

$AH = AD - HD = 39 - 12 = 27$ см.

Теперь можем найти высоту $h = CH$:

$h^2 = AH \cdot HD = 27 \cdot 12 = 324$

$h = \sqrt{324} = 18$ см.

4. Теперь, зная высоту, мы можем вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{39+15}{2} \cdot 18 = \frac{54}{2} \cdot 18 = 27 \cdot 18 = 486$ см$^2$.

Ответ: 486 см$^2$.