Номер 2.23, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.23. Модуль вектора $\vec{c}$ $(x; y; z)$ равен 9, его координаты $x$ и $z$ равны, а координаты $x$ и $y$ — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{c}$.

Пусть дан вектор $\vec{c}$ с координатами $(x; y; z)$.

Модуль (длина) вектора вычисляется по формуле: $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. По условию задачи, модуль вектора равен 9, то есть $|\vec{c}| = 9$.

Из условия также известны следующие соотношения между координатами:
1. Координаты $x$ и $z$ равны, что можно записать как $z = x$.
2. Координаты $x$ и $y$ являются противоположными числами, что означает $y = -x$.

Подставим эти выражения для $y$ и $z$, а также значение модуля, в формулу длины вектора:
$9 = \sqrt{x^2 + (-x)^2 + x^2}$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$. Сначала упростим выражение под корнем:
$9 = \sqrt{x^2 + x^2 + x^2}$
$9 = \sqrt{3x^2}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$9^2 = (\sqrt{3x^2})^2$
$81 = 3x^2$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x^2$:
$x^2 = \frac{81}{3}$
$x^2 = 27$

Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень из 27. Уравнение имеет два решения:
$x = \pm\sqrt{27}$
Упростим корень: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Следовательно, $x = 3\sqrt{3}$ или $x = -3\sqrt{3}$.

Рассмотрим оба возможных случая для нахождения координат вектора.

Случай 1: $x = 3\sqrt{3}$.
Находим соответствующие значения $y$ и $z$:
$y = -x = -3\sqrt{3}$
$z = x = 3\sqrt{3}$
Таким образом, один из возможных векторов имеет координаты $(3\sqrt{3}; -3\sqrt{3}; 3\sqrt{3})$.

Случай 2: $x = -3\sqrt{3}$.
Находим соответствующие значения $y$ и $z$:
$y = -x = -(-3\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}$
$z = x = -3\sqrt{3}$
Таким образом, второй возможный вектор имеет координаты $(-3\sqrt{3}; 3\sqrt{3}; -3\sqrt{3})$.

Ответ: $(3\sqrt{3}; -3\sqrt{3}; 3\sqrt{3})$ или $(-3\sqrt{3}; 3\sqrt{3}; -3\sqrt{3})$.