Номер 2.21, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.21. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (10; -8; -1)$, $C (-2; 4; 4)$ и $D (11; -20; 10)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $B$.

Для параллелограмма $ABCD$ характерно равенство векторов его противоположных сторон. Это означает, что вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$, а вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$. Мы можем использовать любое из этих равенств для нахождения координат вершины $B$. Воспользуемся равенством $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Пусть искомая вершина $B$ имеет координаты $(x_B; y_B; z_B)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{DC}$, зная координаты точек $D(11; -20; 10)$ и $C(-2; 4; 4)$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (-2 - 11; 4 - (-20); 4 - 10) = (-13; 24; -6)$

2. Теперь выразим координаты вектора $\vec{AB}$ через известные координаты точки $A(10; -8; -1)$ и неизвестные координаты точки $B(x_B; y_B; z_B)$.

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (x_B - 10; y_B - (-8); z_B - (-1)) = (x_B - 10; y_B + 8; z_B + 1)$

3. Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, их соответствующие координаты также равны. Приравняем их и составим систему уравнений для нахождения координат точки $B$.

$ \begin{cases} x_B - 10 = -13 \\ y_B + 8 = 24 \\ z_B + 1 = -6 \end{cases} $

4. Решим полученную систему уравнений:

$ \begin{cases} x_B = -13 + 10 \\ y_B = 24 - 8 \\ z_B = -6 - 1 \end{cases} $

$ \begin{cases} x_B = -3 \\ y_B = 16 \\ z_B = -7 \end{cases} $

Таким образом, координаты вершины $B$ равны $(-3; 16; -7)$.

Ответ: $(-3; 16; -7)$