Номер 2.25, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 2.25, страница 20.

Условие.

2.25. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $M(-4; 7; -2)$ является точка $M_1(-8; 1; -7)$, а образом точки $N(-1; 4; -2)$ — точка $N_1(-5; -2; -7)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки пространства смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение можно описать вектором переноса $\vec{v} = (a; b; c)$. Если точка $P(x; y; z)$ переходит в точку $P_1(x_1; y_1; z_1)$, то координаты вектора переноса равны разности координат соответствующих точек: $\vec{v} = (x_1 - x; y_1 - y; z_1 - z)$.

Для того чтобы один и тот же параллельный перенос переводил точку $M$ в $M_1$ и точку $N$ в $N_1$, векторы переноса $\vec{MM_1}$ и $\vec{NN_1}$ должны быть равны.

1. Найдем вектор переноса $\vec{v_1}$, который отображает точку $M(-4; 7; -2)$ на точку $M_1(-8; 1; -7)$.

Координаты вектора $\vec{MM_1}$ вычисляются по формуле:

$\vec{MM_1} = (x_{M_1} - x_M; y_{M_1} - y_M; z_{M_1} - z_M)$

$\vec{MM_1} = (-8 - (-4); 1 - 7; -7 - (-2)) = (-8 + 4; -6; -7 + 2) = (-4; -6; -5)$.

Таким образом, $\vec{v_1} = (-4; -6; -5)$.

2. Найдем вектор переноса $\vec{v_2}$, который отображает точку $N(-1; 4; -2)$ на точку $N_1(-5; -2; -7)$.

Координаты вектора $\vec{NN_1}$ вычисляются аналогично:

$\vec{NN_1} = (x_{N_1} - x_N; y_{N_1} - y_N; z_{N_1} - z_N)$

$\vec{NN_1} = (-5 - (-1); -2 - 4; -7 - (-2)) = (-5 + 1; -6; -7 + 2) = (-4; -6; -5)$.

Таким образом, $\vec{v_2} = (-4; -6; -5)$.

3. Сравним полученные векторы переноса.

$\vec{v_1} = (-4; -6; -5)$ и $\vec{v_2} = (-4; -6; -5)$.

Поскольку $\vec{v_1} = \vec{v_2}$, это означает, что существует один и тот же параллельный перенос, который переводит точку $M$ в $M_1$ и точку $N$ в $N_1$. Этот перенос задается вектором $\vec{v} = (-4; -6; -5)$.

Ответ: да, существует.