Номер 2.31, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.31. По одну сторону от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 30 см и 48 см. Найдите расстояние между хордами, если радиус окружности равен 25 см.

Пусть в окружности с центром O и радиусом $R = 25$ см проведены две параллельные хорды AB и CD. Длина хорды AB равна 48 см, а длина хорды CD равна 30 см. Хорды расположены по одну сторону от центра O.

Проведем из центра O перпендикуляр к хордам. Так как хорды AB и CD параллельны, этот перпендикуляр будет перпендикулярен обеим хордам. Пусть он пересекает хорду AB в точке M и хорду CD в точке N. Расстояние от центра до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Таким образом, OM — это расстояние от центра до хорды AB, а ON — расстояние от центра до хорды CD. Искомое расстояние между хордами равно длине отрезка MN.

Согласно свойству окружности, радиус, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Следовательно, точка M — середина AB, а точка N — середина CD.
$AM = \frac{AB}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.
$CN = \frac{CD}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA (угол OMA = 90°). Гипотенуза OA является радиусом окружности, поэтому $OA = 25$ см. Катет $AM = 24$ см. Применим теорему Пифагора для нахождения катета OM:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$25^2 = OM^2 + 24^2$
$625 = OM^2 + 576$
$OM^2 = 625 - 576 = 49$
$OM = \sqrt{49} = 7$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ONC (угол ONC = 90°). Гипотенуза OC также является радиусом, $OC = 25$ см. Катет $CN = 15$ см. По теореме Пифагора найдем катет ON:
$OC^2 = ON^2 + CN^2$
$25^2 = ON^2 + 15^2$
$625 = ON^2 + 225$
$ON^2 = 625 - 225 = 400$
$ON = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как обе хорды находятся по одну сторону от центра, искомое расстояние между ними MN будет равно разности расстояний от центра до каждой хорды:
$MN = ON - OM = 20 - 7 = 13$ см.

Ответ: 13 см.