Номер 3.2, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{DD_1}$;

2) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C_1D_1}$.

1) Чтобы найти сумму векторов $\vec{A_1B_1} + \vec{DD_1}$, воспользуемся свойствами векторов в кубе. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным рёбрам, равны между собой.

Вектор $\vec{A_1B_1}$ равен вектору $\vec{D_1C_1}$, так как рёбра $A_1B_1$ и $D_1C_1$ являются противоположными сторонами квадрата $A_1B_1C_1D_1$, а значит, они параллельны, равны по длине и сонаправлены.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{A_1B_1}$ на равный ему вектор $\vec{D_1C_1}$:
$\vec{A_1B_1} + \vec{DD_1} = \vec{D_1C_1} + \vec{DD_1}$

Используя переместительное свойство сложения векторов, поменяем слагаемые местами:
$\vec{D_1C_1} + \vec{DD_1} = \vec{DD_1} + \vec{D_1C_1}$

Полученная сумма векторов $\vec{DD_1} + \vec{D_1C_1}$ соответствует правилу треугольника (правилу Шаля), так как начало второго вектора (точка $D_1$) совпадает с концом первого вектора (точка $D_1$). Результатом сложения будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора (точка $D$), а конец — с концом второго вектора (точка $C_1$).
$\vec{DD_1} + \vec{D_1C_1} = \vec{DC_1}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна $\vec{DC_1}$.
Ответ: $\vec{DC_1}$

2) Для нахождения суммы векторов $\vec{AC} + \vec{C_1D_1}$ также воспользуемся заменой одного из векторов на равный ему.

Вектор $\vec{C_1D_1}$ равен вектору $\vec{BA}$. Это следует из того, что четырёхугольник $C_1D_1AB$ является прямоугольником (его стороны $A D_1$ и $B C_1$ являются диагоналями граней куба), поэтому его противоположные стороны $C_1D_1$ и $AB$ параллельны и равны. Однако векторы $\vec{C_1D_1}$ и $\vec{AB}$ противоположно направлены. Вектор $\vec{C_1D_1}$ сонаправлен с вектором $\vec{BA}$.

Заменим в сумме вектор $\vec{C_1D_1}$ на равный ему вектор $\vec{BA}$:
$\vec{AC} + \vec{C_1D_1} = \vec{AC} + \vec{BA}$

Поменяем слагаемые местами, используя переместительное свойство:
$\vec{AC} + \vec{BA} = \vec{BA} + \vec{AC}$

Сумма векторов $\vec{BA} + \vec{AC}$ вычисляется по правилу треугольника. Конец первого вектора (точка $A$) совпадает с началом второго вектора (точка $A$). Результирующий вектор направлен от начала первого вектора (точка $B$) к концу второго (точка $C$).
$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Следовательно, искомая сумма векторов равна $\vec{BC}$.
Ответ: $\vec{BC}$