Номер 2.29, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.29. Точки $A (1; 4; -4)$, $B (4; -3; 1)$, $C_1 (-5; 1; 0)$ и $B_1 (8; -2; 3)$ являются вершинами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. С помощью векторов найдите координаты остальных вершин данного параллелепипеда.

Для нахождения координат остальных вершин параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся свойствами векторов в пространстве. В параллелепипеде противоположные грани являются параллельными и равными параллелограммами. Это означает, что векторы, соответствующие параллельным рёбрам, равны. В частности, $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}$ и $\vec{AB} = \vec{DC}$, $\vec{BC} = \vec{AD}$.

Даны координаты вершин: $A(1; 4; -4)$, $B(4; -3; 1)$, $C_1(-5; 1; 0)$ и $B_1(8; -2; 3)$.

Сначала найдём вектор, определяющий боковое ребро параллелепипеда, используя известные координаты точек $B$ и $B_1$:

$\vec{BB_1} = (x_{B_1} - x_B; y_{B_1} - y_B; z_{B_1} - z_B) = (8-4; -2-(-3); 3-1) = (4; 1; 2)$.

Этот вектор равен всем остальным векторам боковых рёбер: $\vec{AA_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} = (4; 1; 2)$.

Координаты вершины C

Координаты вершины $C$ можно найти, зная координаты вершины $C_1$ и вектор $\vec{CC_1}$. Координаты точки $C$ вычисляются как разность координат точки $C_1$ и вектора $\vec{CC_1}$ (поскольку $\vec{C} = \vec{C_1} - \vec{CC_1}$):

$C = C_1 - \vec{CC_1} = (-5; 1; 0) - (4; 1; 2) = (-5-4; 1-1; 0-2) = (-9; 0; -2)$.

Ответ: $C(-9; 0; -2)$.

Координаты вершины D

Для нахождения координат вершины $D$ воспользуемся правилом параллелограмма для основания $ABCD$: $\vec{AD} = \vec{BC}$. Сначала найдём вектор $\vec{BC}$, используя найденные координаты $C(-9; 0; -2)$ и данные $B(4; -3; 1)$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-9-4; 0-(-3); -2-1) = (-13; 3; -3)$.

Теперь, зная координаты точки $A(1; 4; -4)$ и вектор $\vec{AD} = \vec{BC}$, найдём координаты точки $D$ (поскольку $\vec{D} = \vec{A} + \vec{AD}$):

$D = A + \vec{AD} = A + \vec{BC} = (1; 4; -4) + (-13; 3; -3) = (1-13; 4+3; -4-3) = (-12; 7; -7)$.

Ответ: $D(-12; 7; -7)$.

Координаты вершины A₁

Координаты вершины $A_1$ можно найти, прибавив к координатам точки $A(1; 4; -4)$ координаты вектора $\vec{AA_1} = (4; 1; 2)$ (поскольку $\vec{A_1} = \vec{A} + \vec{AA_1}$):

$A_1 = A + \vec{AA_1} = (1; 4; -4) + (4; 1; 2) = (1+4; 4+1; -4+2) = (5; 5; -2)$.

Ответ: $A_1(5; 5; -2)$.

Координаты вершины D₁

Координаты вершины $D_1$ можно найти, прибавив к координатам найденной вершины $D(-12; 7; -7)$ координаты вектора $\vec{DD_1} = (4; 1; 2)$ (поскольку $\vec{D_1} = \vec{D} + \vec{DD_1}$):

$D_1 = D + \vec{DD_1} = (-12; 7; -7) + (4; 1; 2) = (-12+4; 7+1; -7+2) = (-8; 8; -5)$.

Ответ: $D_1(-8; 8; -5)$.