Номер 2.27, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.27. Дана треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$. Докажите, что компланарны векторы:

1) $\overrightarrow{B_1 C}$, $\overrightarrow{A B_1}$ и $\overrightarrow{A_1 C_1}$;

2) $\overrightarrow{CB_1}$, $\overrightarrow{C_1 B}$ и $\overrightarrow{AA_1}$.

Чтобы доказать, что три вектора компланарны, достаточно показать, что один из них можно выразить через два других (то есть векторы линейно зависимы). Для этого введем базисные векторы, исходящие из одной вершины призмы, например, из вершины A: $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AC}$ и $\vec{c} = \vec{AA_1}$. Эти три вектора некомпланарны.

Докажем компланарность векторов $\vec{B_1C}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{A_1C_1}$.

Выразим каждый из этих векторов через базис $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

• По свойству призмы, $\vec{A_1C_1} = \vec{AC} = \vec{b}$.
• По правилу сложения векторов (правило параллелограмма): $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Так как $\vec{BB_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$, то $\vec{AB_1} = \vec{a} + \vec{c}$.
• Используя правило многоугольника для сложения векторов: $\vec{B_1C} = \vec{B_1B} + \vec{BA} + \vec{AC}$. Так как $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{c}$ и $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$, то $\vec{B_1C} = -\vec{c} - \vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Теперь проверим, существуют ли такие числа $\alpha$ и $\beta$, для которых выполняется равенство: $\vec{B_1C} = \alpha \cdot \vec{AB_1} + \beta \cdot \vec{A_1C_1}$.

Подставим разложения векторов по базису:

$-\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \alpha (\vec{a} + \vec{c}) + \beta (\vec{b})$

$-\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \alpha\vec{c}$

Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ линейно независимы, мы можем приравнять коэффициенты при них в левой и правой частях равенства:

$\begin{cases} \text{при } \vec{a}: & -1 = \alpha \\ \text{при } \vec{b}: & 1 = \beta \\ \text{при } \vec{c}: & -1 = \alpha \end{cases}$

Эта система имеет решение: $\alpha = -1$ и $\beta = 1$.

Таким образом, мы нашли линейную комбинацию: $\vec{B_1C} = -\vec{AB_1} + \vec{A_1C_1}$. Это доказывает, что векторы $\vec{B_1C}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{A_1C_1}$ компланарны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Докажем компланарность векторов $\vec{CB_1}$, $\vec{C_1B}$ и $\vec{AA_1}$.

Используем тот же базис $\vec{a} = \vec{AB}$, $\vec{b} = \vec{AC}$, $\vec{c} = \vec{AA_1}$.

Выразим каждый из векторов через базис:

• По определению базиса: $\vec{AA_1} = \vec{c}$.
• По правилу многоугольника: $\vec{CB_1} = \vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BB_1} = -\vec{AC} + \vec{AB} + \vec{AA_1} = -\vec{b} + \vec{a} + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.
• По правилу многоугольника: $\vec{C_1B} = \vec{C_1C} + \vec{CB} = -\vec{CC_1} + (\vec{AB} - \vec{AC}) = -\vec{AA_1} + \vec{AB} - \vec{AC} = -\vec{c} + \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$.

Проверим, существуют ли такие числа $\alpha$ и $\beta$, для которых выполняется равенство: $\vec{CB_1} = \alpha \cdot \vec{C_1B} + \beta \cdot \vec{AA_1}$.

Подставим разложения векторов по базису:

$\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \alpha (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) + \beta (\vec{c})$

$\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \alpha\vec{a} - \alpha\vec{b} + (-\alpha + \beta)\vec{c}$

Приравняем коэффициенты при базисных векторах:

$\begin{cases} \text{при } \vec{a}: & 1 = \alpha \\ \text{при } \vec{b}: & -1 = -\alpha \\ \text{при } \vec{c}: & 1 = -\alpha + \beta \end{cases}$

Из первого и второго уравнений получаем $\alpha = 1$. Подставив это значение в третье уравнение, находим $\beta$: $1 = -1 + \beta$, откуда $\beta = 2$.

Система имеет решение: $\alpha = 1$ и $\beta = 2$.

Следовательно, мы можем записать: $\vec{CB_1} = 1 \cdot \vec{C_1B} + 2 \cdot \vec{AA_1}$. Это доказывает, что векторы $\vec{CB_1}$, $\vec{C_1B}$ и $\vec{AA_1}$ компланарны.

Ответ: Что и требовалось доказать.