Номер 2.26, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.26. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что компланарны векторы:

1) $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{A_1B_1}$;

2) $\vec{DB_1}$, $\vec{D_1B}$ и $\vec{CC_1}$.

Для доказательства компланарности векторов воспользуемся векторным методом. Введем три некомпланарных базисных вектора, исходящих из одной вершины параллелепипеда, например, из вершины $A$: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Три вектора являются компланарными, если один из них можно выразить как линейную комбинацию двух других, то есть если они линейно зависимы.

1) Докажем, что векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{A_1B_1}$ компланарны.

Выразим каждый из этих векторов через базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Вектор $\vec{AC}$ является диагональю основания $ABCD$. По правилу параллелограмма для сложения векторов: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.

Вектор $\vec{BD}$ является второй диагональю основания $ABCD$. По правилу треугольника: $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{AB} + \vec{AD} = -\vec{a} + \vec{b}$.

Вектор $\vec{A_1B_1}$ параллелен и равен вектору $\vec{AB}$, так как $ABB_1A_1$ — параллелограмм: $\vec{A_1B_1} = \vec{AB} = \vec{a}$.

Теперь проверим, можно ли один из векторов выразить через два других. Попробуем выразить $\vec{AC}$ через $\vec{BD}$ и $\vec{A_1B_1}$, то есть найти такие числа $x$ и $y$, что $\vec{AC} = x \cdot \vec{BD} + y \cdot \vec{A_1B_1}$. Подставим их выражения через базисные векторы: $\vec{a} + \vec{b} = x(-\vec{a} + \vec{b}) + y(\vec{a})$ $\vec{a} + \vec{b} = -x\vec{a} + x\vec{b} + y\vec{a}$ $\vec{a} + \vec{b} = (y-x)\vec{a} + x\vec{b}$

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны (они лежат на смежных ребрах параллелограмма), равенство возможно только тогда, когда коэффициенты при них в левой и правой частях равны. Составим систему уравнений: $ \begin{cases} 1 = y - x \\ 1 = x \end{cases} $

Из второго уравнения получаем $x=1$. Подставив это значение в первое, находим $y$: $1 = y - 1 \Rightarrow y = 2$.

Мы нашли такие числа $x=1$ и $y=2$, что $\vec{AC} = 1 \cdot \vec{BD} + 2 \cdot \vec{A_1B_1}$. Это означает, что векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{A_1B_1}$ линейно зависимы, а значит, компланарны.

Геометрически это означает, что все три вектора параллельны одной плоскости. В данном случае, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ лежат в плоскости основания $ABCD$. Вектор $\vec{A_1B_1}$ параллелен вектору $\vec{AB}$, который также лежит в этой плоскости. Следовательно, все три вектора параллельны плоскости $(ABC)$, что и означает их компланарность.

Ответ: Векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{A_1B_1}$ компланарны, что и требовалось доказать.

2) Докажем, что векторы $\vec{DB_1}$, $\vec{D_1B}$ и $\vec{CC_1}$ компланарны.

Аналогично выразим эти векторы через базисные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

Вектор $\vec{DB_1}$ является пространственной диагональю параллелепипеда. Найдем его по правилу многоугольника: $\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BB_1} = -\vec{AD} + \vec{AB} + \vec{AA_1} = -\vec{b} + \vec{a} + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Вектор $\vec{D_1B}$ является другой пространственной диагональю. $\vec{D_1B} = \vec{D_1A_1} + \vec{A_1A} + \vec{AB} = -\vec{A_1D_1} - \vec{AA_1} + \vec{AB} = -\vec{AD} - \vec{AA_1} + \vec{AB} = -\vec{b} - \vec{c} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$.

Вектор $\vec{CC_1}$ является боковым ребром, параллельным и равным $\vec{AA_1}$: $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$.

Проверим их на линейную зависимость. Попробуем выразить $\vec{DB_1}$ через $\vec{D_1B}$ и $\vec{CC_1}$, то есть найти такие числа $x$ и $y$, что $\vec{DB_1} = x \cdot \vec{D_1B} + y \cdot \vec{CC_1}$. Подставим выражения через базисные векторы: $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = x(\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) + y(\vec{c})$ $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = x\vec{a} - x\vec{b} - x\vec{c} + y\vec{c}$ $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = x\vec{a} - x\vec{b} + (y-x)\vec{c}$

Поскольку векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не компланарны (линейно независимы), приравняем коэффициенты при них: $ \begin{cases} 1 = x \\ -1 = -x \\ 1 = y - x \end{cases} $

Из первого и второго уравнений следует, что $x=1$. Подставив это значение в третье уравнение, находим $y$: $1 = y - 1 \Rightarrow y = 2$.

Мы нашли такие числа $x=1$ и $y=2$, что $\vec{DB_1} = 1 \cdot \vec{D_1B} + 2 \cdot \vec{CC_1}$. Это доказывает, что векторы $\vec{DB_1}$, $\vec{D_1B}$ и $\vec{CC_1}$ линейно зависимы и, следовательно, компланарны.

Геометрически это можно увидеть, рассмотрев диагональное сечение $DBB_1D_1$. Это сечение является параллелограммом. Его диагоналями являются отрезки $DB_1$ и $D_1B$. Следовательно, векторы $\vec{DB_1}$ и $\vec{D_1B}$ лежат в плоскости этого сечения $(DBB_1)$. Вектор $\vec{CC_1}$ параллелен ребру $\vec{DD_1}$ (а также $\vec{BB_1}$), которое является стороной этого сечения и, следовательно, лежит в его плоскости. Таким образом, все три вектора параллельны одной плоскости $(DBB_1D_1)$, а значит, они компланарны.

Ответ: Векторы $\vec{DB_1}$, $\vec{D_1B}$ и $\vec{CC_1}$ компланарны, что и требовалось доказать.