Номер 3.7, страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.7. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (см. рис. 3.12). Найдите разность векторов:

1) $\vec{AB} - \vec{A_1 C_1}$;

2) $\vec{AA_1} - \vec{BC_1}$;

3) $\vec{BA_1} - \vec{B_1 C_1}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и свойствами призмы $ABCA_1B_1C_1$. В призме основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются конгруэнтными и параллельными треугольниками, а боковые грани $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CAA_1C_1$ – параллелограммами. Из этого следуют следующие равенства векторов:

1. Векторы, соответствующие параллельным и равным сторонам оснований, равны: $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$, $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$.

2. Векторы, соответствующие параллельным и равным боковым ребрам, равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

1) Найдем разность векторов $\vec{AB} - \vec{A_1C_1}$.

По свойству призмы, вектор $\vec{A_1C_1}$ равен вектору $\vec{AC}$, так как основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны и равны.

Заменим $\vec{A_1C_1}$ на $\vec{AC}$ в исходном выражении:

$\vec{AB} - \vec{A_1C_1} = \vec{AB} - \vec{AC}$

Разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, имеющих общее начало в точке $A$, представляет собой вектор, который соединяет их концы и направлен от конца вычитаемого вектора ($\vec{AC}$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{AB}$).

Таким образом, $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.

Альтернативно, по правилу сложения векторов: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + (-\vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CB}$.

2) Найдем разность векторов $\vec{AA_1} - \vec{BC_1}$.

Представим вектор $\vec{BC_1}$ как сумму двух векторов по правилу треугольника для треугольника $BCC_1$:

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

По свойству призмы, все боковые ребра параллельны и равны, следовательно, вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.

Подставим это в выражение для $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{AA_1}$

Теперь подставим полученное выражение в исходную разность векторов:

$\vec{AA_1} - \vec{BC_1} = \vec{AA_1} - (\vec{BC} + \vec{AA_1}) = \vec{AA_1} - \vec{BC} - \vec{AA_1}$

Упрощая выражение, взаимно уничтожаем векторы $\vec{AA_1}$ и $-\vec{AA_1}$:

$\vec{AA_1} - \vec{BC} - \vec{AA_1} = -\vec{BC}$

Вектор $-\vec{BC}$ противоположен вектору $\vec{BC}$, то есть он равен вектору $\vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CB}$.

3) Найдем разность векторов $\vec{BA_1} - \vec{B_1C_1}$.

По свойству призмы, вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$, так как они являются соответствующими сторонами равных и параллельных оснований.

Заменим $\vec{B_1C_1}$ на $\vec{BC}$ в исходном выражении:

$\vec{BA_1} - \vec{B_1C_1} = \vec{BA_1} - \vec{BC}$

Мы получили разность двух векторов с общим началом в точке $B$. Результатом является вектор, соединяющий их концы и направленный от конца вычитаемого ($C$) к концу уменьшаемого ($A_1$).

Следовательно, $\vec{BA_1} - \vec{BC} = \vec{CA_1}$.

Альтернативный способ решения — разложить вектор $\vec{BA_1}$ по правилу треугольника для $BAA_1$: $\vec{BA_1} = \vec{BA} + \vec{AA_1}$. Тогда:

$\vec{BA_1} - \vec{BC} = (\vec{BA} + \vec{AA_1}) - \vec{BC} = (\vec{BA} - \vec{BC}) + \vec{AA_1}$

Как мы уже знаем, $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$. Подставляя, получаем:

$\vec{CA} + \vec{AA_1} = \vec{CA_1}$ (по правилу треугольника для $CAA_1$).

Ответ: $\vec{CA_1}$.