Номер 3.12, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.12. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (см. рис. 3.15). Укажите все векторы, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда, противоположные вектору:

1) $\vec{B_1B}$;

2) $\vec{CD_1}$.

Два вектора называются противоположными, если они имеют равные модули (длины) и противоположные направления. Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, — это вектор $-\vec{a}$. Если вектор задан начальной и конечной точками, например $\vec{PQ}$, то противоположный ему вектор будет $\vec{QP}$. Также противоположными вектору $\vec{PQ}$ будут все векторы, равные вектору $\vec{QP}$.

1) $\vec{B_1B}$

Вектор $\vec{B_1B}$ направлен от вершины $B_1$ к вершине $B$. Вектор, непосредственно ему противоположный, — это вектор $\vec{BB_1}$.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$ параллельны и равны по длине. Следовательно, векторы, направленные вдоль этих ребер в одну сторону, равны. Вектору $\vec{BB_1}$ (направленному "вверх") равны следующие векторы:

• $\vec{AA_1}$
• $\vec{CC_1}$
• $\vec{DD_1}$

Таким образом, все векторы, противоположные вектору $\vec{B_1B}$, — это векторы, равные вектору $\vec{BB_1}$.

Ответ: $\vec{BB_1}$, $\vec{AA_1}$, $\vec{CC_1}$, $\vec{DD_1}$.

2) $\vec{CD_1}$

Вектор $\vec{CD_1}$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$. Вектор, непосредственно противоположный ему, — это вектор $\vec{D_1C}$.

Теперь необходимо найти все векторы в параллелепипеде, которые равны вектору $\vec{D_1C}$. Для этого рассмотрим грань $BAA_1B_1$, которая параллельна и конгруэнтна грани $CDD_1C_1$. Вектор, соответствующий вектору $\vec{D_1C}$ на этой грани, — это вектор $\vec{A_1B}$.

Докажем, что $\vec{D_1C} = \vec{A_1B}$. Рассмотрим четырехугольник $A_1BCD_1$. В параллелепипеде ребра $BC$ и $A_1D_1$ параллельны и равны (так как $BC$ параллельно и равно $AD$, а $AD$ параллельно и равно $A_1D_1$). Следовательно, $\vec{BC} = \vec{A_1D_1}$. Поскольку две противоположные стороны четырехугольника $A_1BCD_1$ параллельны и равны, он является параллелограммом. В параллелограмме другие две противоположные стороны также параллельны и равны, то есть $\vec{A_1B} = \vec{D_1C}$.

Таким образом, векторы, противоположные вектору $\vec{CD_1}$, это $\vec{D_1C}$ и $\vec{A_1B}$.

Ответ: $\vec{D_1C}$, $\vec{A_1B}$.