Номер 3.15, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.15. Упростите выражение:

1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM};$

2) $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{AC}.$

1)

Для упрощения данного векторного выражения воспользуемся свойствами сложения векторов: коммутативностью (возможностью менять слагаемые местами) и ассоциативностью (возможностью группировать слагаемые). Основным инструментом будет правило треугольника (или правило Шаля) для сложения векторов: $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ}$. Также учтем, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору: $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YX} = \vec{0}$.

Исходное выражение: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM}$.

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было последовательно применить правило треугольника, а также сложить противоположные векторы:
$(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DE}) + (\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FC})$

Теперь упростим каждую из групп:

• В первой группе: $(\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{EM}$.
• Во второй группе: $\overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{FE}$.
• В третьей группе векторы $\overrightarrow{CF}$ и $\overrightarrow{FC}$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулевому вектору: $\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FC} = \vec{0}$.

Соберем упрощенные части вместе:
$\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{FE} + \vec{0}$

Поменяем слагаемые местами и снова применим правило треугольника:
$\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{EM} = \overrightarrow{FM}$

Ответ: $\overrightarrow{FM}$

2)

Рассмотрим выражение: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{AC}$.

Первым шагом преобразуем операции вычитания в сложение с противоположными векторами, используя правило $-\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{YX}$:
$-\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{FD}$
$-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$

Таким образом, выражение принимает вид:
$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{CA}$

Теперь, используя коммутативность сложения, перегруппируем векторы так, чтобы конец предыдущего вектора совпадал с началом следующего:
$(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) + (\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FD}) + \overrightarrow{DE}$

Применим правило треугольника к слагаемым в скобках:

• $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA}$
• $\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{AD}$

Подставим полученные результаты обратно в выражение:
$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$

Продолжим упрощение, последовательно применяя правило треугольника:
$(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BE}$

Ответ: $\overrightarrow{BE}$