Номер 3.11, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.11. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.15). Укажите все векторы, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда, противоположные вектору:

Рис. 3.15

Противоположные векторы — это векторы, которые имеют равные модули (длины) и противоположные направления. Если дан вектор $\vec{a} = \vec{PQ}$, то противоположный ему вектор равен $-\vec{a} = \vec{QP}$. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соответствующие параллельным и равным по длине отрезкам (рёбрам или диагоналям), равны, если их направления совпадают.

1) $\vec{AD}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{AD}$, это вектор $-\vec{AD}$.
По определению, вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, так как $\vec{DA} = -\vec{AD}$.
В параллелепипеде противоположные грани являются равными параллелограммами. Поэтому векторы, соответствующие параллельным рёбрам, равны. Для вектора $\vec{AD}$ равными ему будут векторы $\vec{BC}$ (в грани $ABCD$), $\vec{A_1D_1}$ (в грани $A_1B_1C_1D_1$) и $\vec{B_1C_1}$ (так как $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$).
Следовательно, векторы, противоположные им, также будут противоположны вектору $\vec{AD}$.

• Противоположный $\vec{AD}$ это $\vec{DA}$.
• Противоположный $\vec{BC}$ это $\vec{CB}$.
• Противоположный $\vec{A_1D_1}$ это $\vec{D_1A_1}$.
• Противоположный $\vec{B_1C_1}$ это $\vec{C_1B_1}$.

Таким образом, все векторы, противоположные вектору $\vec{AD}$, это $\vec{DA}$, $\vec{CB}$, $\vec{D_1A_1}$, $\vec{C_1B_1}$.
Ответ: $\vec{DA}$, $\vec{CB}$, $\vec{D_1A_1}$, $\vec{C_1B_1}$.

2) $\vec{B_1D}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{B_1D}$, это вектор $-\vec{B_1D}$.
Вектор $\vec{B_1D}$ является пространственной диагональю параллелепипеда. По определению, вектор $\vec{DB_1}$ противоположен вектору $\vec{B_1D}$.
В общем случае в параллелепипеде нет других пар вершин, которые образовывали бы вектор, равный вектору $\vec{DB_1}$, так как пространственные диагонали не параллельны друг другу (если они не лежат на одной прямой, что невозможно для разных диагоналей). Таким образом, существует только один искомый вектор.
Ответ: $\vec{DB_1}$.

3) $\vec{AC}$

Вектор, противоположный вектору $\vec{AC}$, это вектор $-\vec{AC}$.
Вектор $\vec{AC}$ является диагональю грани (основания) $ABCD$. Непосредственно по определению, вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$.
Поскольку грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны и равны, их соответствующие диагонали равны как векторы: $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$.
Следовательно, вектор, противоположный $\vec{A_1C_1}$, также будет противоположен $\vec{AC}$. Противоположным вектору $\vec{A_1C_1}$ является вектор $\vec{C_1A_1}$.
Таким образом, существует два вектора, противоположных вектору $\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{CA}$, $\vec{C_1A_1}$.