Страница 26 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.1. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 3.12). Найдите сумму векторов:

1) $\vec{BC} + \vec{AA_1}$;

2) $\vec{BA} + \vec{A_1C_1}$.

Рис. 3.12

Для решения задачи воспользуемся свойствами призмы и правилами сложения векторов.

В призме $ABCA_1B_1C_1$ основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равные треугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны и равны между собой. Из этого следуют векторные равенства:

• $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$
• $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$, $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$

Согласно свойствам призмы, вектор, соответствующий боковому ребру $AA_1$, равен вектору, соответствующему боковому ребру $CC_1$. То есть, $\vec{AA_1} = \vec{CC_1}$.

Выполним замену в исходном выражении:

$\vec{BC} + \vec{AA_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

Теперь применим правило треугольника для сложения векторов. Конец вектора $\vec{BC}$ (точка C) совпадает с началом вектора $\vec{CC_1}$ (точка C). Суммой этих векторов будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора (точка B), а конец — с концом второго вектора (точка $C_1$).

$\vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{BC_1}$

Ответ: $\vec{BC_1}$

Поскольку основания призмы являются равными и параллельными фигурами, соответствующие им векторы сторон равны. В данном случае, вектор $\vec{A_1C_1}$ в верхнем основании равен вектору $\vec{AC}$ в нижнем основании.

$\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$

Заменим вектор $\vec{A_1C_1}$ на $\vec{AC}$ в исходном выражении:

$\vec{BA} + \vec{A_1C_1} = \vec{BA} + \vec{AC}$

Воспользуемся правилом треугольника (правилом Шаля). Конец первого вектора $\vec{BA}$ (точка A) является началом второго вектора $\vec{AC}$ (точка A). Суммой будет вектор, идущий из начала первого вектора (точка B) в конец второго (точка C).

$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Ответ: $\vec{BC}$

3.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{DD_1}$;

2) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C_1D_1}$.

1) Чтобы найти сумму векторов $\vec{A_1B_1} + \vec{DD_1}$, воспользуемся свойствами векторов в кубе. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным рёбрам, равны между собой.

Вектор $\vec{A_1B_1}$ равен вектору $\vec{D_1C_1}$, так как рёбра $A_1B_1$ и $D_1C_1$ являются противоположными сторонами квадрата $A_1B_1C_1D_1$, а значит, они параллельны, равны по длине и сонаправлены.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{A_1B_1}$ на равный ему вектор $\vec{D_1C_1}$:
$\vec{A_1B_1} + \vec{DD_1} = \vec{D_1C_1} + \vec{DD_1}$

Используя переместительное свойство сложения векторов, поменяем слагаемые местами:
$\vec{D_1C_1} + \vec{DD_1} = \vec{DD_1} + \vec{D_1C_1}$

Полученная сумма векторов $\vec{DD_1} + \vec{D_1C_1}$ соответствует правилу треугольника (правилу Шаля), так как начало второго вектора (точка $D_1$) совпадает с концом первого вектора (точка $D_1$). Результатом сложения будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора (точка $D$), а конец — с концом второго вектора (точка $C_1$).
$\vec{DD_1} + \vec{D_1C_1} = \vec{DC_1}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна $\vec{DC_1}$.
Ответ: $\vec{DC_1}$

2) Для нахождения суммы векторов $\vec{AC} + \vec{C_1D_1}$ также воспользуемся заменой одного из векторов на равный ему.

Вектор $\vec{C_1D_1}$ равен вектору $\vec{BA}$. Это следует из того, что четырёхугольник $C_1D_1AB$ является прямоугольником (его стороны $A D_1$ и $B C_1$ являются диагоналями граней куба), поэтому его противоположные стороны $C_1D_1$ и $AB$ параллельны и равны. Однако векторы $\vec{C_1D_1}$ и $\vec{AB}$ противоположно направлены. Вектор $\vec{C_1D_1}$ сонаправлен с вектором $\vec{BA}$.

Заменим в сумме вектор $\vec{C_1D_1}$ на равный ему вектор $\vec{BA}$:
$\vec{AC} + \vec{C_1D_1} = \vec{AC} + \vec{BA}$

Поменяем слагаемые местами, используя переместительное свойство:
$\vec{AC} + \vec{BA} = \vec{BA} + \vec{AC}$

Сумма векторов $\vec{BA} + \vec{AC}$ вычисляется по правилу треугольника. Конец первого вектора (точка $A$) совпадает с началом второго вектора (точка $A$). Результирующий вектор направлен от начала первого вектора (точка $B$) к концу второго (точка $C$).
$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Следовательно, искомая сумма векторов равна $\vec{BC}$.
Ответ: $\vec{BC}$

3.3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.13). Найдите сумму

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{B_1C_1}$.

Рис. 3.13

Для нахождения суммы векторов $\vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{CD} + \vec{B_1C_1}$ воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным ребрам одинаковой направленности, равны. Исходя из этого, можем сделать следующие замены:

1. Так как основание $ABCD$ является параллелограммом, то вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$. Вектор $\vec{CD}$ является противоположным вектору $\vec{DC}$, следовательно, $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{AB}$.

2. Боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны, поэтому $\vec{DD_1} = \vec{BB_1}$.

Подставим эти выражения в исходную сумму:

$\vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{CD} + \vec{B_1C_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} + (-\vec{AB}) + \vec{B_1C_1}$

Сгруппируем слагаемые для упрощения:

$(\vec{AB} - \vec{AB}) + (\vec{BB_1} + \vec{B_1C_1})$

Сумма противоположных векторов $\vec{AB}$ и $-\vec{AB}$ равна нулевому вектору $\vec{0}$:

$\vec{0} + \vec{BB_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{BB_1} + \vec{B_1C_1}$

Для сложения векторов $\vec{BB_1}$ и $\vec{B_1C_1}$ применим правило треугольника (правило Шаля), так как начало второго вектора ($B_1$) совпадает с концом первого вектора ($B_1$). Суммой будет вектор, соединяющий начало первого вектора ($B$) с концом второго ($C_1$):

$\vec{BB_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{BC_1}$

Ответ: $\vec{BC_1}$.

3.4. Дан параллелепипед $ABCD A_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.14). Найдите сумму

$\vec{A_1A} + \vec{C_1D_1} + \vec{DB_1} + \vec{BC}$

Рис. 3.14

Для нахождения суммы векторов $\vec{A_1A} + \vec{C_1D_1} + \vec{DB_1} + \vec{BC}$ воспользуемся свойствами параллелепипеда и правилом сложения векторов.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные грани являются равными параллелограммами. Это позволяет нам заменить некоторые векторы в сумме на равные им, чтобы упростить выражение. В частности:

• Вектор $\vec{C_1D_1}$ равен вектору $\vec{B_1A_1}$, так как грань $A_1B_1C_1D_1$ - параллелограмм.
• Вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$, так как грань $ABCD$ - параллелограмм.

Подставим эти векторы в исходное выражение:

$\vec{A_1A} + \vec{C_1D_1} + \vec{DB_1} + \vec{BC} = \vec{A_1A} + \vec{B_1A_1} + \vec{DB_1} + \vec{AD}$

Теперь переставим слагаемые местами, чтобы можно было последовательно применить правило многоугольника (конец предыдущего вектора совпадает с началом следующего):

$\vec{B_1A_1} + \vec{A_1A} + \vec{AD} + \vec{DB_1}$

Выполним сложение векторов по шагам:

1. Сумма первых двух векторов: $\vec{B_1A_1} + \vec{A_1A} = \vec{B_1A}$.

2. К результату прибавим третий вектор: $\vec{B_1A} + \vec{AD} = \vec{B_1D}$.

3. К новому результату прибавим последний вектор: $\vec{B_1D} + \vec{DB_1} = \vec{B_1B_1} = \vec{0}$.

Векторы $\vec{B_1D}$ и $\vec{DB_1}$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулевому вектору.

Ответ: $\vec{0}$.

3.5. Даны векторы $\vec{a}(3; -6; 4)$ и $\vec{b}(-2; 4; -5)$. Найдите:

1) координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$;

2) $|\vec{a} + \vec{b}|$.

1) координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$
Чтобы найти координаты вектора, который является суммой двух векторов, нужно сложить их соответствующие координаты. Для данных векторов $\vec{a}(3; -6; 4)$ и $\vec{b}(-2; 4; -5)$ получим:
$\vec{a} + \vec{b} = (3 + (-2); -6 + 4; 4 + (-5)) = (1; -2; -1)$.
Ответ: $(1; -2; -1)$

2) $|\vec{a} + \vec{b}|$
Модуль (длина) вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат. Для нахождения $|\vec{a} + \vec{b}|$ воспользуемся координатами вектора $\vec{a} + \vec{b}$, найденными в предыдущем пункте.
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
Ответ: $\sqrt{6}$

3.6. Даны векторы $\vec{m} (-7; -1; 8)$ и $\vec{n} (-3; 2; -4)$. Найдите:

1) координаты вектора $\vec{m} + \vec{n}$;

2) $|\vec{m} + \vec{n}|$.

1) координаты вектора $\vec{m} + \vec{n}$

Чтобы найти координаты суммы двух векторов, необходимо сложить их соответствующие координаты. Даны векторы $\vec{m}$ с координатами $(-7; -1; 8)$ и $\vec{n}$ с координатами $(-3; 2; -4)$.

Обозначим результирующий вектор как $\vec{c} = \vec{m} + \vec{n}$. Его координаты $(c_x; c_y; c_z)$ вычисляются следующим образом:

$c_x = m_x + n_x = -7 + (-3) = -7 - 3 = -10$

$c_y = m_y + n_y = -1 + 2 = 1$

$c_z = m_z + n_z = 8 + (-4) = 8 - 4 = 4$

Следовательно, координаты вектора $\vec{m} + \vec{n}$ равны $(-10; 1; 4)$.

Ответ: $(-10; 1; 4)$.

2) $|\vec{m} + \vec{n}|$

Модуль (или длина) вектора — это корень квадратный из суммы квадратов его координат. Из предыдущего пункта мы знаем, что вектор $\vec{m} + \vec{n}$ имеет координаты $(-10; 1; 4)$.

Формула для нахождения модуля вектора $\vec{a}(x; y; z)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Применим эту формулу к вектору $\vec{m} + \vec{n}$:

$|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{(-10)^2 + 1^2 + 4^2}$

$|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{100 + 1 + 16} = \sqrt{117}$

Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители:

$117 = 9 \cdot 13$

Тогда:

$\sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{13} = 3\sqrt{13}$

Таким образом, модуль вектора $\vec{m} + \vec{n}$ равен $3\sqrt{13}$.

Ответ: $3\sqrt{13}$.

3.7. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (см. рис. 3.12). Найдите разность векторов:

1) $\vec{AB} - \vec{A_1 C_1}$;

2) $\vec{AA_1} - \vec{BC_1}$;

3) $\vec{BA_1} - \vec{B_1 C_1}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и свойствами призмы $ABCA_1B_1C_1$. В призме основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются конгруэнтными и параллельными треугольниками, а боковые грани $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CAA_1C_1$ – параллелограммами. Из этого следуют следующие равенства векторов:

1. Векторы, соответствующие параллельным и равным сторонам оснований, равны: $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$, $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$.

2. Векторы, соответствующие параллельным и равным боковым ребрам, равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

1) Найдем разность векторов $\vec{AB} - \vec{A_1C_1}$.

По свойству призмы, вектор $\vec{A_1C_1}$ равен вектору $\vec{AC}$, так как основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны и равны.

Заменим $\vec{A_1C_1}$ на $\vec{AC}$ в исходном выражении:

$\vec{AB} - \vec{A_1C_1} = \vec{AB} - \vec{AC}$

Разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, имеющих общее начало в точке $A$, представляет собой вектор, который соединяет их концы и направлен от конца вычитаемого вектора ($\vec{AC}$) к концу уменьшаемого вектора ($\vec{AB}$).

Таким образом, $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.

Альтернативно, по правилу сложения векторов: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + (-\vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{CA} = \vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CB}$.

2) Найдем разность векторов $\vec{AA_1} - \vec{BC_1}$.

Представим вектор $\vec{BC_1}$ как сумму двух векторов по правилу треугольника для треугольника $BCC_1$:

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

По свойству призмы, все боковые ребра параллельны и равны, следовательно, вектор $\vec{CC_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$.

Подставим это в выражение для $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{AA_1}$

Теперь подставим полученное выражение в исходную разность векторов:

$\vec{AA_1} - \vec{BC_1} = \vec{AA_1} - (\vec{BC} + \vec{AA_1}) = \vec{AA_1} - \vec{BC} - \vec{AA_1}$

Упрощая выражение, взаимно уничтожаем векторы $\vec{AA_1}$ и $-\vec{AA_1}$:

$\vec{AA_1} - \vec{BC} - \vec{AA_1} = -\vec{BC}$

Вектор $-\vec{BC}$ противоположен вектору $\vec{BC}$, то есть он равен вектору $\vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CB}$.

3) Найдем разность векторов $\vec{BA_1} - \vec{B_1C_1}$.

По свойству призмы, вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$, так как они являются соответствующими сторонами равных и параллельных оснований.

Заменим $\vec{B_1C_1}$ на $\vec{BC}$ в исходном выражении:

$\vec{BA_1} - \vec{B_1C_1} = \vec{BA_1} - \vec{BC}$

Мы получили разность двух векторов с общим началом в точке $B$. Результатом является вектор, соединяющий их концы и направленный от конца вычитаемого ($C$) к концу уменьшаемого ($A_1$).

Следовательно, $\vec{BA_1} - \vec{BC} = \vec{CA_1}$.

Альтернативный способ решения — разложить вектор $\vec{BA_1}$ по правилу треугольника для $BAA_1$: $\vec{BA_1} = \vec{BA} + \vec{AA_1}$. Тогда:

$\vec{BA_1} - \vec{BC} = (\vec{BA} + \vec{AA_1}) - \vec{BC} = (\vec{BA} - \vec{BC}) + \vec{AA_1}$

Как мы уже знаем, $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$. Подставляя, получаем:

$\vec{CA} + \vec{AA_1} = \vec{CA_1}$ (по правилу треугольника для $CAA_1$).

Ответ: $\vec{CA_1}$.

3.8. Дан куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{AB} - \vec{DC_1}$;

2) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В кубе все ребра равны, а грани являются квадратами. Противоположные грани параллельны, а следовательно, векторы, лежащие на параллельных ребрах или диагоналях, могут быть равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Требуется найти разность векторов $\vec{AB} - \vec{DC_1}$.

В кубе грань $DCC_1D_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$. Вектор $\vec{DC_1}$ является диагональю грани $DCC_1D_1$. Вектор $\vec{AB_1}$ является соответствующей диагональю параллельной грани $ABB_1A_1$. Поскольку грани параллельны и конгруэнтны, эти векторы равны: $\vec{DC_1} = \vec{AB_1}$.

Выполним замену в исходном выражении:

$\vec{AB} - \vec{DC_1} = \vec{AB} - \vec{AB_1}$

Разность двух векторов, исходящих из одной точки, представляет собой вектор, соединяющий их конечные точки. Этот вектор направлен от конца вычитаемого вектора (в данном случае $B_1$) к концу уменьшаемого вектора (в данном случае $B$).

Следовательно, $\vec{AB} - \vec{AB_1} = \vec{B_1B}$.

Также можно рассмотреть это через сложение векторов: $\vec{AB} - \vec{AB_1} = \vec{AB} + (-\vec{AB_1}) = \vec{AB} + \vec{B_1A}$. Поменяв слагаемые местами, по правилу треугольника получим: $\vec{B_1A} + \vec{AB} = \vec{B_1B}$.

Ответ: $\vec{B_1B}$

Требуется найти разность векторов $\vec{AC} - \vec{DD_1}$.

В кубе все боковые ребра параллельны и равны. Поэтому вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$, так как они сонаправлены и имеют одинаковую длину (длину ребра куба). То есть, $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$.

Подставим равный вектор в выражение:

$\vec{AC} - \vec{DD_1} = \vec{AC} - \vec{AA_1}$

Мы получили разность двух векторов, $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$, которые выходят из одной точки $A$. По правилу вычитания векторов, результирующий вектор начинается в конечной точке вычитаемого вектора ($\vec{AA_1}$, точка $A_1$) и заканчивается в конечной точке уменьшаемого вектора ($\vec{AC}$, точка $C$).

Таким образом, $\vec{AC} - \vec{AA_1} = \vec{A_1C}$.

Ответ: $\vec{A_1C}$

3.9. Даны векторы $\vec{a} (-10; 15; -20)$ и $\vec{b} (2; 6; -12)$. Найдите:

1) координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$;

2) $|\vec{a} - \vec{b}|.$

Даны векторы $\vec{a}$ с координатами $(-10; 15; -20)$ и $\vec{b}$ с координатами $(2; 6; -12)$.

Чтобы найти координаты разности векторов $\vec{a} - \vec{b}$, необходимо из каждой координаты вектора $\vec{a}$ вычесть соответствующую координату вектора $\vec{b}$.

Пусть $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$. Координаты вектора $\vec{c}$ будут $(c_x; c_y; c_z)$.

$c_x = a_x - b_x = -10 - 2 = -12$

$c_y = a_y - b_y = 15 - 6 = 9$

$c_z = a_z - b_z = -20 - (-12) = -20 + 12 = -8$

Таким образом, координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$ равны $(-12; 9; -8)$.

Ответ: $(-12; 9; -8)$.

Модуль (или длина) вектора $|\vec{a} - \vec{b}|$ вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат. В предыдущем пункте мы уже нашли координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$, которые равны $(-12; 9; -8)$.

Формула для вычисления модуля вектора $\vec{v}(x; y; z)$ выглядит так: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Применим эту формулу к вектору $\vec{a} - \vec{b}$:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(-12)^2 + 9^2 + (-8)^2}$

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{144 + 81 + 64}$

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{289}$

$|\vec{a} - \vec{b}| = 17$

Следовательно, модуль вектора $\vec{a} - \vec{b}$ равен 17.

Ответ: 17.