Страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.4. Точки $M$ и $K$ — середины соответственно рёбер $CD$ и $CC_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

1) сонаправлены с вектором $\vec{AD}$;

2) противоположно направлены с вектором $\vec{MK}$;

3) имеют равные модули с вектором $\vec{AC_1}$.

1) сонаправлены с вектором $\overrightarrow{AD}$

Сонаправленными называются векторы, которые лежат на параллельных прямых (или на одной прямой) и направлены в одну сторону. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$, $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны ребру $AD$. Векторы, построенные на этих рёбрах и имеющие то же направление, что и $\overrightarrow{AD}$, будут ему сонаправлены. Это векторы $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{A_1D_1}$ и $\overrightarrow{B_1C_1}$.

Ответ: $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{A_1D_1}$, $\overrightarrow{B_1C_1}$.

2) противоположно направлены с вектором $\overrightarrow{MK}$

Рассмотрим треугольник $CDC_1$. Поскольку точки $M$ и $K$ являются серединами его сторон $CD$ и $CC_1$ соответственно, отрезок $MK$ — это средняя линия $\triangle CDC_1$. По свойству средней линии, $MK \parallel DC_1$ и $MK = \frac{1}{2}DC_1$. Отсюда следует, что вектор $\overrightarrow{MK}$ сонаправлен с вектором $\overrightarrow{DC_1}$.

Следовательно, задача сводится к поиску векторов с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые противоположно направлены вектору $\overrightarrow{DC_1}$.

Такими векторами являются $\overrightarrow{C_1D}$ (так как он имеет ту же длину, что и $\overrightarrow{DC_1}$, но противоположное направление) и $\overrightarrow{B_1A}$. Вектор $\overrightarrow{B_1A}$ подходит, так как в параллелепипеде диагонали противоположных граней $CDD_1C_1$ и $ABB_1A_1$ параллельны и равны, то есть $\overrightarrow{DC_1} = \overrightarrow{AB_1}$. Вектор, противоположный $\overrightarrow{AB_1}$, — это $\overrightarrow{B_1A}$.

Ответ: $\overrightarrow{C_1D}$, $\overrightarrow{B_1A}$.

3) имеют равные модули с вектором $\overrightarrow{AC_1}$

Модуль вектора — это его длина. Нам нужно найти все векторы, начало и конец которых находятся в вершинах параллелепипеда, а длина равна длине вектора $\overrightarrow{AC_1}$.

Вектор $\overrightarrow{AC_1}$ соответствует пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда. В прямоугольном параллелепипеде все четыре пространственные диагонали равны по длине: $AC_1 = BD_1 = A_1C = B_1D$.

Следовательно, искомыми являются все векторы, соответствующие этим диагоналям. Для каждой диагонали существует два противоположно направленных вектора. Перечислим их все: $\overrightarrow{AC_1}$, $\overrightarrow{C_1A}$, $\overrightarrow{BD_1}$, $\overrightarrow{D_1B}$, $\overrightarrow{A_1C}$, $\overrightarrow{CA_1}$, $\overrightarrow{B_1D}$ и $\overrightarrow{DB_1}$.

Ответ: $\overrightarrow{AC_1}$, $\overrightarrow{C_1A}$, $\overrightarrow{BD_1}$, $\overrightarrow{D_1B}$, $\overrightarrow{A_1C}$, $\overrightarrow{CA_1}$, $\overrightarrow{B_1D}$, $\overrightarrow{DB_1}$.

2.5. Начертите тетраэдр $DABC$. Отложите:

1) от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{CA}$;

2) от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{AC}$;

3) от точки $D$ вектор, равный вектору $\vec{BC}$.

Сначала начертим произвольный тетраэдр DABC. Это пространственная фигура, состоящая из четырех вершин (D, A, B, C), не лежащих в одной плоскости, и шести ребер, соединяющих их попарно. Основанием может служить треугольник ABC, а D — вершиной.

Общий принцип построения: отложить от точки M вектор, равный вектору $\overrightarrow{XY}$, означает построить такую точку K, что $\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{XY}$. Два вектора равны, если они сонаправлены (параллельны и направлены в одну сторону) и равны по длине. Геометрически это означает, что четырехугольник XYKM является параллелограммом (возможно, вырожденным, если точки лежат на одной прямой).

Требуется построить точку P, такую что $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{CA}$. Вектор $\overrightarrow{CA}$ имеет начало в точке C и конец в точке A. Искомый вектор $\overrightarrow{AP}$ должен начинаться в точке A, быть сонаправленным с $\overrightarrow{CA}$ и иметь ту же длину. Поскольку начало нового вектора (точка A) совпадает с концом исходного вектора (точка A), все три точки C, A и P будут лежать на одной прямой. Условие $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{CA}$ означает, что точка P находится на прямой AC на таком же расстоянии от A, как и C, но в том же направлении, в котором A находится относительно C. Таким образом, точка A является серединой отрезка CP. Для построения точки P следует продлить отрезок CA за точку A на расстояние, равное длине CA.
Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{AP}$, где точка P такова, что A является серединой отрезка CP.

Требуется построить точку Q, такую что $\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AC}$. Равенство векторов означает, что отрезки BQ и AC должны быть параллельны ($BQ \parallel AC$) и равны по длине ($|BQ| = |AC|$), а направление от B к Q должно совпадать с направлением от A к C. Эти условия выполняются, если четырехугольник ACQB является параллелограммом. Для построения точки Q нужно провести через точку B прямую, параллельную AC, и через точку C прямую, параллельную AB. Точка их пересечения и будет искомой точкой Q.
Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{BQ}$, где точка Q такова, что четырехугольник ACQB является параллелограммом.

Требуется построить точку R, такую что $\overrightarrow{DR} = \overrightarrow{BC}$. Равенство векторов означает, что отрезки DR и BC должны быть параллельны ($DR \parallel BC$) и равны по длине ($|DR| = |BC|$), а направление от D к R должно совпадать с направлением от B к C. Эти условия выполняются, если четырехугольник BCDR является параллелограммом. Для построения точки R нужно провести через точку D прямую, параллельную BC, и через точку C прямую, параллельную BD. Точка их пересечения и будет искомой точкой R.
Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{DR}$, где точка R такова, что четырехугольник BCDR является параллелограммом.

2.6. Начертите куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Отложите:

1) от точки A вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$;

2) от точки C вектор, равный вектору $\vec{A_1C_1}$;

3) от точки $D_1$ вектор, равный вектору $\vec{B_1D}$.

Для решения задачи рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Равенство векторов означает, что они имеют одинаковую длину и одинаковое направление (сонаправлены).

1) от точки А вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$

Пусть искомый вектор, отложенный от точки $A$, будет $\vec{AK}$. По условию, $\vec{AK} = \vec{A_1A}$. Вектор $\vec{A_1A}$ направлен вдоль ребра $A_1A$ от точки $A_1$ к точке $A$. Его длина равна длине ребра куба. В кубе все вертикальные ребра параллельны и равны. Вектор $\vec{A_1A}$ сонаправлен с векторами $\vec{B_1B}$, $\vec{C_1C}$ и $\vec{D_1D}$. Следовательно, $\vec{A_1A} = \vec{B_1B} = \vec{C_1C} = \vec{D_1D}$. Таким образом, нам нужно построить вектор $\vec{AK}$ так, чтобы он был равен, например, вектору $\vec{D_1D}$. Условие $\vec{AK} = \vec{D_1D}$ означает, что четырехугольник $AKDD_1$ является параллелограммом. Так как в кубе ребра $AD$ и $DD_1$ перпендикулярны ($AD \perp DD_1$), то этот параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{AK}$, где точка $K$ является четвертой вершиной параллелограмма (прямоугольника) $AKDD_1$.

2) от точки С вектор, равный вектору $\vec{A_1C_1}$

Пусть искомый вектор, отложенный от точки $C$, будет $\vec{CM}$. По условию, $\vec{CM} = \vec{A_1C_1}$. Вектор $\vec{A_1C_1}$ — это диагональ верхней грани куба. Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ куба параллельны и равны, поэтому их соответствующие диагонали, рассматриваемые как векторы, также равны. То есть, вектор $\vec{A_1C_1}$ равен вектору $\vec{AC}$. Таким образом, задача сводится к построению вектора $\vec{CM}$, равного вектору $\vec{AC}$: $\vec{CM} = \vec{AC}$. Это означает, что точка $M$ расположена так, что отрезок $CM$ является результатом параллельного переноса отрезка $AC$. Геометрически это значит, что точка $C$ является серединой отрезка $AM$. Точка $M$ не является вершиной исходного куба.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{CM}$ такой, что $\vec{CM} = \vec{AC}$. Точка $M$ является концом вектора, и точка $C$ при этом — середина отрезка $AM$.

3) от точки $D_1$ вектор, равный вектору $\vec{B_1D}$

Пусть искомый вектор, отложенный от точки $D_1$, будет $\vec{D_1P}$. По условию, $\vec{D_1P} = \vec{B_1D}$. Вектор $\vec{B_1D}$ является одной из пространственных диагоналей куба. По определению равенства векторов, если $\vec{D_1P} = \vec{B_1D}$, то эти векторы можно совместить параллельным переносом. Это означает, что четырехугольник, образованный началами и концами этих векторов, то есть $D_1PDB_1$, является параллелограммом. Точка $P$ строится как четвертая вершина этого параллелограмма и не совпадает ни с одной из вершин куба.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{D_1P}$, где точка $P$ такова, что четырехугольник $D_1PDB_1$ является параллелограммом.

2.7. Найдите координаты вектора $\vec{AB}$, если:

1) $A(3; 4; 2)$, $B(1; -4; 5)$;

2) $A(-6; 7; -1)$, $B(2; 9; 8)$.

Для нахождения координат вектора $\vec{AB}$, зная координаты его начальной точки $A(x_A; y_A; z_A)$ и конечной точки $B(x_B; y_B; z_B)$, используется формула:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$

Иными словами, из каждой координаты конца вектора (точки B) вычитается соответствующая координата его начала (точки A).

1) A (3; 4; 2), B (1; -4; 5)

Имеем координаты точек:

$x_A = 3, y_A = 4, z_A = 2$

$x_B = 1, y_B = -4, z_B = 5$

Подставляем значения в формулу:

$\vec{AB} = (1 - 3; -4 - 4; 5 - 2)$

Вычисляем разности:

$\vec{AB} = (-2; -8; 3)$

Ответ: $\vec{AB}(-2; -8; 3)$

2) A (-6; 7; -1), B (2; 9; 8)

Имеем координаты точек:

$x_A = -6, y_A = 7, z_A = -1$

$x_B = 2, y_B = 9, z_B = 8$

Подставляем значения в формулу:

$\vec{AB} = (2 - (-6); 9 - 7; 8 - (-1))$

Вычисляем разности:

$\vec{AB} = (2 + 6; 2; 8 + 1)$

$\vec{AB} = (8; 2; 9)$

Ответ: $\vec{AB}(8; 2; 9)$

2.8. Найдите координаты вектора $ \vec{CD} $, если $ C (-1; 10; 4) $, $ D (-1; 0; 2) $.

Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат его конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.

Пусть даны точки $C(x_1; y_1; z_1)$ и $D(x_2; y_2; z_2)$. Координаты вектора $\vec{CD}$ находятся по формуле:

$\vec{CD} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$

В данном случае, координаты начальной точки $C$ равны $(-1; 10; 4)$, а координаты конечной точки $D$ равны $(-1; 0; 2)$.

Подставим эти значения в формулу:

$\vec{CD} = (-1 - (-1); 0 - 10; 2 - 4)$

Выполним вычисления для каждой координаты:

$x = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$

$y = 0 - 10 = -10$

$z = 2 - 4 = -2$

Таким образом, координаты вектора $\vec{CD}$ равны $(0; -10; -2)$.

Ответ: $(0; -10; -2)$

2.9. Найдите координаты конца вектора $\vec{PF} (2; -3; 6)$, если $P (3; 5; -1)$.

Координаты вектора, заданного двумя точками, вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Пусть точка $P$ имеет координаты $(x_P; y_P; z_P)$, а точка $F$ (конец вектора) имеет координаты $(x_F; y_F; z_F)$. Тогда координаты вектора $\vec{PF}$ равны $(x_F - x_P; y_F - y_P; z_F - z_P)$.

В условии задачи даны координаты вектора $\vec{PF}(2; -3; 6)$ и координаты его начальной точки $P(3; 5; -1)$. Нам нужно найти координаты конечной точки $F(x_F; y_F; z_F)$.

Составим уравнения для каждой из координат:

Для координаты по оси Ox:
$x_{\vec{PF}} = x_F - x_P$
$2 = x_F - 3$
$x_F = 2 + 3 = 5$

Для координаты по оси Oy:
$y_{\vec{PF}} = y_F - y_P$
$-3 = y_F - 5$
$y_F = -3 + 5 = 2$

Для координаты по оси Oz:
$z_{\vec{PF}} = z_F - z_P$
$6 = z_F - (-1)$
$6 = z_F + 1$
$z_F = 6 - 1 = 5$

Следовательно, координаты конца вектора, точки $F$, равны $(5; 2; 5)$.

Ответ: $F(5; 2; 5)$.

2.10. Найдите координаты начала вектора $\vec{ST} (-3; 4; -2)$, если $T (4; 2; 0)$.

Пусть искомые координаты начала вектора, точки S, равны $(x_S; y_S; z_S)$. Координаты конца вектора, точки T, даны по условию: $T(4; 2; 0)$.

Координаты вектора $\overrightarrow{ST}$ находятся как разность соответствующих координат его конца (точки T) и начала (точки S). Формула для нахождения координат вектора:

$\overrightarrow{ST} = (x_T - x_S; y_T - y_S; z_T - z_S)$

По условию задачи, нам известны координаты вектора $\overrightarrow{ST} = (-3; 4; -2)$ и координаты точки $T(4; 2; 0)$. Подставим эти значения в формулу, чтобы составить систему уравнений для нахождения координат точки S:

$-3 = 4 - x_S$
$4 = 2 - y_S$
$-2 = 0 - z_S$

Теперь решим каждое уравнение, чтобы найти $x_S$, $y_S$ и $z_S$:

Из первого уравнения:
$x_S = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$

Из второго уравнения:
$y_S = 2 - 4 = -2$

Из третьего уравнения:
$-z_S = -2 \implies z_S = 2$

Таким образом, координаты начала вектора S равны $(7; -2; 2)$.

Ответ: S(7; -2; 2).

2.11. Даны точки A (-2; 3; 5), B (1; 2; 4) и C (4; -3; 6). Найдите координаты точки D такой, что

$\vec{AB} = \vec{CD}$

Для того чтобы найти координаты точки $D$, необходимо воспользоваться условием равенства векторов $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты.

1. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, зная координаты его начала $A(-2; 3; 5)$ и конца $B(1; 2; 4)$. Координаты вектора находятся путем вычитания соответствующих координат начала из координат конца.

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (1 - (-2); 2 - 3; 4 - 5) = (3; -1; -1)$.

2. Пусть искомая точка $D$ имеет координаты $(x; y; z)$. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{CD}$ с началом в точке $C(4; -3; 6)$ и концом в точке $D(x; y; z)$.

$\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (x - 4; y - (-3); z - 6) = (x - 4; y + 3; z - 6)$.

3. Приравняем соответствующие координаты векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$, так как по условию $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$:

$(3; -1; -1) = (x - 4; y + 3; z - 6)$.

Это дает нам систему из трех уравнений:

$\begin{cases} x - 4 = 3 \\y + 3 = -1 \\z - 6 = -1\end{cases}$

4. Решим каждое уравнение, чтобы найти координаты $x, y, z$ точки $D$:

Из первого уравнения: $x = 3 + 4 \Rightarrow x = 7$.

Из второго уравнения: $y = -1 - 3 \Rightarrow y = -4$.

Из третьего уравнения: $z = -1 + 6 \Rightarrow z = 5$.

Таким образом, координаты точки $D$ равны $(7; -4; 5)$.

Ответ: $D(7; -4; 5)$.

2.12. Даны точки A (5; -12; 7), B (0; y; 3), C (x; 17; -14) и D (15; 0; z).

При каких значениях x, y и z верно равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$?

Для того чтобы равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$ было верным, необходимо, чтобы соответствующие координаты векторов были равны. Сначала найдем координаты каждого вектора.

Координаты вектора, начало которого находится в точке $P_1(x_1; y_1; z_1)$, а конец — в точке $P_2(x_2; y_2; z_2)$, вычисляются по формуле: $\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Нахождение координат вектора $\vec{AB}$

Используем координаты точек $A(5; -12; 7)$ и $B(0; y; 3)$:
$\vec{AB} = (0 - 5; y - (-12); 3 - 7) = (-5; y + 12; -4)$.

Нахождение координат вектора $\vec{CD}$

Используем координаты точек $C(x; 17; -14)$ и $D(15; 0; z)$:
$\vec{CD} = (15 - x; 0 - 17; z - (-14)) = (15 - x; -17; z + 14)$.

Решение системы уравнений

Теперь приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, чтобы удовлетворить условию $\vec{AB} = \vec{CD}$. Это дает нам систему из трех уравнений:

1) $-5 = 15 - x$
2) $y + 12 = -17$
3) $-4 = z + 14$

Решим каждое уравнение относительно неизвестной переменной:

1) Из первого уравнения найдем $x$:
$-5 = 15 - x$
$x = 15 + 5$
$x = 20$

2) Из второго уравнения найдем $y$:
$y + 12 = -17$
$y = -17 - 12$
$y = -29$

3) Из третьего уравнения найдем $z$:
$-4 = z + 14$
$z = -4 - 14$
$z = -18$

Таким образом, равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ выполняется при $x = 20$, $y = -29$ и $z = -18$.

Ответ: $x = 20$, $y = -29$, $z = -18$.