Номер 2.5, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.5. Начертите тетраэдр $DABC$. Отложите:

1) от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{CA}$;

2) от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{AC}$;

3) от точки $D$ вектор, равный вектору $\vec{BC}$.

Сначала начертим произвольный тетраэдр DABC. Это пространственная фигура, состоящая из четырех вершин (D, A, B, C), не лежащих в одной плоскости, и шести ребер, соединяющих их попарно. Основанием может служить треугольник ABC, а D — вершиной.

Общий принцип построения: отложить от точки M вектор, равный вектору $\overrightarrow{XY}$, означает построить такую точку K, что $\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{XY}$. Два вектора равны, если они сонаправлены (параллельны и направлены в одну сторону) и равны по длине. Геометрически это означает, что четырехугольник XYKM является параллелограммом (возможно, вырожденным, если точки лежат на одной прямой).

Требуется построить точку P, такую что $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{CA}$. Вектор $\overrightarrow{CA}$ имеет начало в точке C и конец в точке A. Искомый вектор $\overrightarrow{AP}$ должен начинаться в точке A, быть сонаправленным с $\overrightarrow{CA}$ и иметь ту же длину. Поскольку начало нового вектора (точка A) совпадает с концом исходного вектора (точка A), все три точки C, A и P будут лежать на одной прямой. Условие $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{CA}$ означает, что точка P находится на прямой AC на таком же расстоянии от A, как и C, но в том же направлении, в котором A находится относительно C. Таким образом, точка A является серединой отрезка CP. Для построения точки P следует продлить отрезок CA за точку A на расстояние, равное длине CA.
Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{AP}$, где точка P такова, что A является серединой отрезка CP.

Требуется построить точку Q, такую что $\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{AC}$. Равенство векторов означает, что отрезки BQ и AC должны быть параллельны ($BQ \parallel AC$) и равны по длине ($|BQ| = |AC|$), а направление от B к Q должно совпадать с направлением от A к C. Эти условия выполняются, если четырехугольник ACQB является параллелограммом. Для построения точки Q нужно провести через точку B прямую, параллельную AC, и через точку C прямую, параллельную AB. Точка их пересечения и будет искомой точкой Q.
Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{BQ}$, где точка Q такова, что четырехугольник ACQB является параллелограммом.

Требуется построить точку R, такую что $\overrightarrow{DR} = \overrightarrow{BC}$. Равенство векторов означает, что отрезки DR и BC должны быть параллельны ($DR \parallel BC$) и равны по длине ($|DR| = |BC|$), а направление от D к R должно совпадать с направлением от B к C. Эти условия выполняются, если четырехугольник BCDR является параллелограммом. Для построения точки R нужно провести через точку D прямую, параллельную BC, и через точку C прямую, параллельную BD. Точка их пересечения и будет искомой точкой R.
Ответ: Искомый вектор — это вектор $\overrightarrow{DR}$, где точка R такова, что четырехугольник BCDR является параллелограммом.