Номер 2.2, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.2. Могут ли быть равными векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$?

Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление (сонаправлены). Проанализируем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ с точки зрения этих двух условий.

Длина. Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине отрезка AB: $|\vec{AB}| = |AB|$. Длина вектора $\vec{BA}$ равна длине отрезка BA: $|\vec{BA}| = |BA|$. Поскольку длина отрезка не зависит от порядка его конечных точек, $|AB| = |BA|$. Таким образом, длины векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ всегда равны.

Направление. Вектор $\vec{AB}$ направлен от точки A к точке B. Вектор $\vec{BA}$ направлен от точки B к точке A. Чтобы векторы были равны, их направления должны совпадать.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Если точки A и B не совпадают ($A \neq B$), то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ имеют прямо противоположные направления. Следовательно, они не равны. В геометрии такие векторы называются противоположными, и для них справедливо равенство $\vec{AB} = -\vec{BA}$.

2. Если точки A и B совпадают ($A = B$), то вектор $\vec{AB}$ представляет собой вектор $\vec{AA}$, у которого начало и конец совпадают. Это нулевой вектор, обозначаемый как $\vec{0}$. Его длина равна нулю. Аналогично, вектор $\vec{BA}$ также становится нулевым вектором $\vec{BB}$ (что то же самое, что и $\vec{AA}$), который также равен $\vec{0}$. В этом единственном случае оба вектора равны друг другу: $\vec{AB} = \vec{BA} = \vec{0}$.

Таким образом, равенство $\vec{AB} = \vec{BA}$ выполняется только тогда, когда точки A и B совпадают.

Ответ: Да, могут, но только в одном случае: если точки A и B совпадают. При этом оба вектора становятся нулевыми векторами ($\vec{AB} = \vec{BA} = \vec{0}$).