Номер 2.6, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.6. Начертите куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Отложите:

1) от точки A вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$;

2) от точки C вектор, равный вектору $\vec{A_1C_1}$;

3) от точки $D_1$ вектор, равный вектору $\vec{B_1D}$.

Для решения задачи рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Равенство векторов означает, что они имеют одинаковую длину и одинаковое направление (сонаправлены).

1) от точки А вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$

Пусть искомый вектор, отложенный от точки $A$, будет $\vec{AK}$. По условию, $\vec{AK} = \vec{A_1A}$. Вектор $\vec{A_1A}$ направлен вдоль ребра $A_1A$ от точки $A_1$ к точке $A$. Его длина равна длине ребра куба. В кубе все вертикальные ребра параллельны и равны. Вектор $\vec{A_1A}$ сонаправлен с векторами $\vec{B_1B}$, $\vec{C_1C}$ и $\vec{D_1D}$. Следовательно, $\vec{A_1A} = \vec{B_1B} = \vec{C_1C} = \vec{D_1D}$. Таким образом, нам нужно построить вектор $\vec{AK}$ так, чтобы он был равен, например, вектору $\vec{D_1D}$. Условие $\vec{AK} = \vec{D_1D}$ означает, что четырехугольник $AKDD_1$ является параллелограммом. Так как в кубе ребра $AD$ и $DD_1$ перпендикулярны ($AD \perp DD_1$), то этот параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{AK}$, где точка $K$ является четвертой вершиной параллелограмма (прямоугольника) $AKDD_1$.

2) от точки С вектор, равный вектору $\vec{A_1C_1}$

Пусть искомый вектор, отложенный от точки $C$, будет $\vec{CM}$. По условию, $\vec{CM} = \vec{A_1C_1}$. Вектор $\vec{A_1C_1}$ — это диагональ верхней грани куба. Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ куба параллельны и равны, поэтому их соответствующие диагонали, рассматриваемые как векторы, также равны. То есть, вектор $\vec{A_1C_1}$ равен вектору $\vec{AC}$. Таким образом, задача сводится к построению вектора $\vec{CM}$, равного вектору $\vec{AC}$: $\vec{CM} = \vec{AC}$. Это означает, что точка $M$ расположена так, что отрезок $CM$ является результатом параллельного переноса отрезка $AC$. Геометрически это значит, что точка $C$ является серединой отрезка $AM$. Точка $M$ не является вершиной исходного куба.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{CM}$ такой, что $\vec{CM} = \vec{AC}$. Точка $M$ является концом вектора, и точка $C$ при этом — середина отрезка $AM$.

3) от точки $D_1$ вектор, равный вектору $\vec{B_1D}$

Пусть искомый вектор, отложенный от точки $D_1$, будет $\vec{D_1P}$. По условию, $\vec{D_1P} = \vec{B_1D}$. Вектор $\vec{B_1D}$ является одной из пространственных диагоналей куба. По определению равенства векторов, если $\vec{D_1P} = \vec{B_1D}$, то эти векторы можно совместить параллельным переносом. Это означает, что четырехугольник, образованный началами и концами этих векторов, то есть $D_1PDB_1$, является параллелограммом. Точка $P$ строится как четвертая вершина этого параллелограмма и не совпадает ни с одной из вершин куба.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{D_1P}$, где точка $P$ такова, что четырехугольник $D_1PDB_1$ является параллелограммом.