Номер 2.3, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.3. Точки E и F — середины соответственно рёбер $AA_1$ и $AD$ прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 2.11), $AB \neq AD$. Укажите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые:

1) сонаправлены с вектором $\vec{EF}$;

2) противоположно направлены с вектором $\vec{AB_1}$;

Рис. 2.11

1) сонаправлены с вектором $\vec{EF}$

Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону. Это означает, что один вектор можно выразить через другой умножением на положительное число.

Выразим вектор $\vec{EF}$ через векторы, отложенные от вершины $A$. Так как точка $E$ — середина ребра $AA_1$, то $\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AA_1}$. Так как точка $F$ — середина ребра $AD$, то $\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

По правилу вычитания векторов: $\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AA_1})$.

Рассмотрим вектор $\vec{A_1D}$. По правилу треугольника для векторов: $\vec{A_1D} = \vec{AD} - \vec{AA_1}$.

Сравнивая выражения для $\vec{EF}$ и $\vec{A_1D}$, получаем: $\vec{EF} = \frac{1}{2}\vec{A_1D}$. Поскольку коэффициент $\frac{1}{2}$ положителен, векторы $\vec{EF}$ и $\vec{A_1D}$ сонаправлены.

Теперь найдем другие векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равные вектору $\vec{A_1D}$. Вектор $\vec{A_1D}$ является диагональю боковой грани $ADD_1A_1$. В параллельной ей грани $BCC_1B_1$ соответствующей диагональю является вектор $\vec{B_1C}$. В параллелепипеде векторы, соединяющие соответственные вершины параллельных граней, равны, поэтому $\vec{A_1D} = \vec{B_1C}$.

Следовательно, векторы $\vec{A_1D}$ и $\vec{B_1C}$ сонаправлены с вектором $\vec{EF}$.

Ответ: $\vec{A_1D}$, $\vec{B_1C}$.

2) противоположно направлены с вектором $\vec{AB_1}$

Два вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и направлены в разные стороны. Это означает, что один вектор можно выразить через другой умножением на отрицательное число.

Вектор, противоположный вектору $\vec{AB_1}$, с теми же концами — это вектор $\vec{B_1A}$, так как $\vec{B_1A} = -1 \cdot \vec{AB_1}$.

Теперь найдем другие векторы, равные вектору $\vec{B_1A}$. Для этого сначала найдем векторы, равные $\vec{AB_1}$. Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. В параллельной ей грани $DCC_1D_1$ ему равен вектор $\vec{DC_1}$.

Проверим это равенство, разложив векторы по ребрам, выходящим из одной вершины: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$. По свойству параллелепипеда $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$, следовательно, $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.

Вектор, противоположно направленный вектору $\vec{DC_1}$, это $\vec{C_1D}$. Так как $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$, то $\vec{C_1D} = -\vec{DC_1} = -\vec{AB_1}$.

Таким образом, векторы $\vec{B_1A}$ и $\vec{C_1D}$ противоположно направлены вектору $\vec{AB_1}$.

Ответ: $\vec{B_1A}$, $\vec{C_1D}$.