Номер 1.44, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.44. Рёбра $AB$, $AD$ и $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно 2 см, 4 см и 6 см. Плоскость, перпендикулярная диагонали $BD_1$ и проходящая через её середину, пересекает прямую $A_1B_1$ в точке $M$. Найдите отрезок $A_1M$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$, направив оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно.

Согласно условию, длины ребер равны $AB = 2$ см, $AD = 4$ см, $AA_1 = 6$ см. В выбранной системе координат вершины, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(2, 0, 0)$
• $D(0, 4, 0)$
• $A_1(0, 0, 6)$
• $B_1(2, 0, 6)$
• $D_1(0, 4, 6)$

По условию, секущая плоскость перпендикулярна диагонали $BD_1$. Это означает, что вектор $\vec{BD_1}$ является вектором нормали к этой плоскости. Найдем его координаты:

$\vec{BD_1} = (0 - 2, 4 - 0, 6 - 0) = (-2, 4, 6)$.

Уравнение плоскости в общем виде: $ax + by + cz + d = 0$. В качестве вектора нормали $(a,b,c)$ можно взять $\vec{BD_1}$ или любой коллинеарный ему, например, $\vec{n} = (-1, 2, 3)$, полученный делением координат на 2. Тогда уравнение плоскости: $-x + 2y + 3z + d = 0$.

Также известно, что плоскость проходит через середину диагонали $BD_1$. Обозначим эту точку как $K$ и найдем ее координаты:

$K = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 6}{2} \right) = (1, 2, 3)$.

Так как точка $K$ принадлежит плоскости, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Подставим их, чтобы найти $d$:

$-(1) + 2(2) + 3(3) + d = 0 \Rightarrow -1 + 4 + 9 + d = 0 \Rightarrow 12 + d = 0 \Rightarrow d = -12$.

Таким образом, уравнение секущей плоскости имеет вид: $-x + 2y + 3z - 12 = 0$.

Эта плоскость пересекает прямую $A_1B_1$ в точке $M$. Зададим прямую $A_1B_1$ параметрически. Прямая проходит через точку $A_1(0, 0, 6)$ с направляющим вектором $\vec{A_1B_1} = (2-0, 0-0, 6-6) = (2, 0, 0)$. Параметрические уравнения прямой:

$\begin{cases} x = 2t \\ y = 0 \\ z = 6 \end{cases}$

Для нахождения координат точки пересечения $M$ подставим параметрические выражения для $x, y, z$ в уравнение плоскости:

$-(2t) + 2(0) + 3(6) - 12 = 0$

$-2t + 18 - 12 = 0$

$-2t + 6 = 0 \Rightarrow t = 3$.

Найдем координаты точки $M$, подставив $t=3$ в параметрические уравнения:

$M(2 \cdot 3, 0, 6) \Rightarrow M(6, 0, 6)$.

Осталось найти длину отрезка $A_1M$. Имея координаты точек $A_1(0, 0, 6)$ и $M(6, 0, 6)$, используем формулу расстояния между двумя точками:

$A_1M = \sqrt{(x_M - x_{A_1})^2 + (y_M - y_{A_1})^2 + (z_M - z_{A_1})^2} = \sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: $6$ см.